Equações Telegráficas - Equações da Onda Viajante

A figura 1 mostra uma seção infinitesimal de uma linha de transmissão sendo submetida a uma tensão e percorrida por uma corrente. A partir da análise das tensões e correntes instantâneas dessa seção chegaremos nas equações da onda viajante na linha de transmissão.

Figura 1: Seção infinitesimal de uma linha de transmissão. fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.

A partir de Kirchhoff para a malha temos:

$v(z,t)-v(z+\Delta z,t)=i(z,t)R'\Delta z+L'\Delta z{\partial i(z,t) \over \partial t}$ (1)

E de Kirchhoff para o nó a :

$i(z,t)-i(z+\Delta z,t)=v(z+\Delta z,t)G'\Delta z+C'\Delta z{\partial v(z+\Delta z,t) \over \partial t}$ (2)

Dividindo as equações (1) E (2) por $\Delta z$ e fazendo $\Delta z{\longrightarrow 0}$:

$\lim _{\Delta _{z}\to 0}{v(z,t)-v(z+\Delta z,t) \over \Delta z}=i(z,t)R'+L'{\partial i(z,t) \over \partial t}$ (3)

$\lim _{\Delta _{z}\to 0}{i(z,t)-i(z+\Delta z,t) \over \Delta z}=v(z,t)G'+C'{\partial v(z,t) \over \partial t}$ (4)

Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas:

$-{\partial v(z,t) \over \partial z}=i(z,t)R'+L'{\partial i(z,t) \over \partial t}$ (5)

$-{\partial i(z,t) \over \partial z}=v(z,t)G'+C'{\partial v(z,t) \over \partial t}$ (6)

Solução das equações telegráficas via uma função harmônica no tempo (sinusoidal)

Vamos obter a solução para as equações telegráficas a partir de uma solução harmônica no tempo, isto é, vamos considerar que a tensão v(z,t) é cossenoidal.

A equação de uma onda de tensão cossenoidal e descrita por:

$v(z,t)=v(z)\cos(wt+\psi (z))$ (7)

v(z) e ψ (z) são funções apenas da posição z.

Considerando a identidade de Euler [ $e^{j\psi }=cos\psi +jsen\psi$], podemos reescrever a equação (7) como:

$\Re \left\{e^{j\psi }\right\}=cos\psi$ (8)

$v(z,t)=v(z)cos(wt+\psi (z))=\Re \left\{v(z)e^{j(wt+\psi (z))}\right\}$

$=\Re \left\{v(z)e^{+j\psi (z)}e^{jwt}\right\}$ (9)

Da representação de função complexa:

$V(z)=v(z)e^{-j\psi (z)}$ (10)

Portanto:

$v(z)=|V(z)|$ (11)

$\psi (z)=arg\left\{V(z)\right\}$ (12)

A análise feita considerando uma onda de tensão tem sua equivalente em termos de uma onda de corrente.

Equação da onda viajante

Lembrando que:

${\partial \Re \left\{e^{jwt}\right\} \over \partial t}={\partial \Re \left\{cos(wt)+jsen(wt)\right\} \over \partial t}$

$={\partial cos(wt) \over \partial t}=-wsen(wt)$

e

$\Re \left\{jwe^{jwt}\right\}=\Re \left\{jw(cos(wt)+jsen(wt))\right\}$

$=-wsen(wt)$

temos:

${\partial \Re \left\{e^{jwt}\right\} \over \partial t}=\Re \left\{jwe^{jwt}\right\}$

portanto:

${\partial v(z,t) \over \partial t}={\partial \Re \left\{V(z)e^{jwt}\right\} \over \partial t}$

${\partial v(z,t) \over \partial t}=V(z){\partial \Re \left\{e^{jwt}\right\} \over \partial t}=V(z)\Re \left\{jwe^{jwt}\right\}$

${\partial v(z,t) \over \partial t}=jwV(z)$

Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6):

${\partial V(z) \over \partial z}=-(R+jwL)I(z)$ (14)

${\partial i(z,t) \over \partial z}=-(G+jwC)V(z)$ (15)

Derivando a primeira equação telegráfica (14) em função de z:

${\partial ^{2}V(z) \over \partial z^{2}}=-(R+jwL){\partial I(z) \over \partial z}$

e substituindo ${\partial I(z) \over \partial z}$ pela segunda equação telegráfica (15) temos:

${\partial ^{2}V(z) \over \partial z^{2}}=(R+jwL)(G+jwC)V(z)$ (16)

fazendo $\gamma ^{2}=(R+jwL)(G+jwC)$ isto é $\gamma ={\sqrt {(R+jwL)(G+jwC)}}=\alpha +j\beta$

${\partial ^{2}V(z) \over \partial z^{2}}-\gamma ^{2}V(z)=0$ (17)

A equação (17) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Uma solução para esta equação é uma função exponencial, como:

$V(z)=Ae^{\lambda z}$ (18)

onde A e $\lambda$ são constantes arbitrárias.

Derivando duas vezes a função (18) em função de z temos:

${\partial ^{2}V(z) \over \partial z^{2}}=\lambda ^{2}Ae^{\lambda z}$

e a equação (17) pode ser reescrita como:

$\lambda ^{2}Ae^{\lambda z}-\gamma ^{2}Ae^{\lambda z}=0$

ou

$\lambda ^{2}-\gamma ^{2}=0$ ou $(\lambda +\gamma )(\lambda -\gamma )=0$

Uma solução para essa equação é $\lambda =-\gamma$, portanto:

$V(z)=Ae^{-\gamma z}$

Retornando para a representação no tempo:

$v(z,t)=Ae^{-\alpha z}cos(wt-\beta z)$

Substituindo A por uma constante mais significativa $V_{o}^{+}$

$v(z,t)=V_{o}^{+}e^{-\alpha z}cos(wt-\beta z)$ (19)

A equação (19) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção +z com amplitude em z=0 de $V_{o}^{+}$

Da segunda solução $\lambda =\gamma$ temos:

$v(z,t)=V_{o}^{-}e^{\alpha z}cos(wt+\beta z)$ (20)

A equação (20) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção -z com amplitude em z=0 de $V_{o}^{-}$

A resposta completa da equação (18) é a equação da onda viajante no tempo, a qual é obtida pela soma das soluções individuais da equação diferencial:

$v(z,t)=V_{o}^{+}e^{-\alpha z}cos(wt-\beta z)+V_{o}^{-}e^{\alpha z}cos(wt+\beta z)$ (21)

Uma análise equivalente poderia ser realizada para i(z,t) obtendo:

$i(z,t)=I_{o}^{+}e^{-\alpha z}cos(wt-\beta z)+I_{o}^{-}e^{\alpha z}cos(wt+\beta z)$ (22)