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Linha 53: |
Linha 53: |
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− | :::::<math>v(z,t) = v(z) \cos(wt+\Phi (z))</math> (7) | + | :::::<math>v(z,t) = v(z) \cos(wt+\psi (z))</math> (7) |
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− | v(z) e Φ (z) são funções apenas da posição z. | + | v(z) e ψ (z) são funções apenas da posição z. |
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| Considerando a identidade de Euler [ <math>e^{j\psi} = cos \psi + jsen \psi</math>], podemos reescrever a equação (7) como: | | Considerando a identidade de Euler [ <math>e^{j\psi} = cos \psi + jsen \psi</math>], podemos reescrever a equação (7) como: |
Linha 65: |
Linha 65: |
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− | :::::<math>v(z,t) = v(z) cos(wt+ \phi (z)) = \Re \left \{v(z) e^{j(wt+\phi(z))}\right \}</math> | + | :::::<math>v(z,t) = v(z) cos(wt+ \psi (z)) = \Re \left \{v(z) e^{j(wt+\psi(z))}\right \}</math> |
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− | :::::<math>=\Re\left \{v(z)e^{+j \phi(z)} e^{jwt}\right \}</math> (9) | + | :::::<math>=\Re\left \{v(z)e^{+j \psi(z)} e^{jwt}\right \}</math> (9) |
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Linha 75: |
Linha 75: |
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− | :::::<math>V(z)= v(z) e^{-j\phi(z)}</math> (10) | + | :::::<math>V(z)= v(z) e^{-j\psi(z)}</math> (10) |
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Linha 84: |
Linha 84: |
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− | :::::<math>\phi(z)= arg \left \{V(z)\right \}</math> (12) | + | :::::<math>\psi(z)= arg \left \{V(z)\right \}</math> (12) |
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A figura 1 mostra uma seção infinitesimal de uma linha de transmissão sendo submetida a uma tensão e percorrida por uma corrente. A partir da análise das tensões e correntes instantâneas dessa seção chegaremos nas equações da onda viajante na linha de transmissão.
Figura 1: Seção infinitesimal de uma linha de transmissão.
fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.
A partir de Kirchhoff para a malha temos:
- (1)
E de Kirchhoff para o nó a :
- (2)
Dividindo as equações (1) E (2) por e fazendo :
- (3)
- (4)
Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas:
(5)
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(6)
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Solução das equações telegráficas via uma função harmônica no tempo (sinusoidal)
Vamos obter a solução para as equações telegráficas a partir de uma solução harmônica no tempo, isto é, vamos considerar que a tensão v(z,t) é cossenoidal.
A equação de uma onda de tensão cossenoidal e descrita por:
- (7)
v(z) e ψ (z) são funções apenas da posição z.
Considerando a identidade de Euler [ ], podemos reescrever a equação (7) como:
- (8)
- (9)
Da representação de função complexa:
- (10)
Portanto:
- (11)
- (12)
A análise feita considerando uma onda de tensão tem sua equivalente em termos de uma onda de corrente.
Equação da onda viajante
Lembrando que:
e
temos:
portanto:
Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6):
(14)
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(15)
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Derivando a primeira equação telegráfica (14) em função de z:
e substituindo pela segunda equação telegráfica (15) temos:
- (16)
fazendo isto é
- (17)
A equação (17) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Uma solução para esta equação é uma função exponencial, como:
- (18)
onde A e são constantes arbitrárias.
Derivando duas vezes a função (18) em função de z temos:
e a equação (17) pode ser reescrita como:
ou
- ou
Uma solução para essa equação é , portanto:
Retornando para a representação no tempo:
Substituindo A por uma constante mais significativa
- (19)
A equação (19) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção +z com amplitude em z=0 de
Da segunda solução temos:
- (20)
A equação (20) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção -z com amplitude em z=0 de
A resposta completa da equação (18) é a equação da onda viajante no tempo, a qual é obtida pela soma das soluções individuais da equação diferencial:
(21)
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Uma análise equivalente poderia ser realizada para i(z,t) obtendo:
(22)
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