Mudanças entre as edições de "Equações Telegráficas - Equações da Onda Viajante"
Linha 88: | Linha 88: | ||
<math>{\partial v(z,t) \over \partial t}= {\partial \Re \left \{ V(z)e^{jwt} \right \} \over \partial t}</math> | <math>{\partial v(z,t) \over \partial t}= {\partial \Re \left \{ V(z)e^{jwt} \right \} \over \partial t}</math> | ||
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+ | da segunda solução | ||
Linha 147: | Linha 149: | ||
Substituindo A por uma constante mais significativa <math>V_o^+</math> | Substituindo A por uma constante mais significativa <math>V_o^+</math> | ||
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+ | <math>v(z,t) = V_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z)</math> (19) | ||
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+ | A equação (19) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção +z com amplitude em z=0 de <math>V_o^+</math> | ||
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+ | Da segunda solução <math>\lambda = \gamma </math> temos: | ||
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+ | <math>v(z,t) = V_o^-e^{-\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> (20) | ||
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+ | A equação (20) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção -z com amplitude em z=0 de <math>V_o^-</math> | ||
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+ | A resposta completa da equação (18) é a equação da onda viajante no tempo, a qual é obtida pela soma das soluções individuais da equação diferencial: | ||
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+ | <math>v(z,t) = V_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z) + V_o^-e^{-\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> | ||
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+ | Uma análise equivalente poderia ser realizada para i(z,t) obtendo: | ||
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+ | <math>i(z,t) = I_o^+e^{-\alpha z} cos (wt - \beta z) + I_o^-e^{-\alpha z} cos (wt + \beta z)</math> |
Edição das 15h40min de 4 de setembro de 2015
A figura abaixo mostra uma seção infinitesimal de uma linha de transmissão sendo submetida a uma tensão e percorrida por uma corrente. A partir da análise das tensões e correntes instantâneas desse modelo chegaremos nas equações da onda viajante na linha de transmissão.
fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.
A partir de Kirchhoff para a malha temos:
(1)
E de Kirchhoff para o nó a:
(2)
Dividindo as equações (1) E (2) por e fazendo :
(3)
(4)
Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas:
(5) |
(6) |
Solução das equações telegráficas via uma função harmônica no tempo (sinusoidal)
Vamos obter a solução para as equações telegráficas a partir de uma solução harmônica no tempo, isto é, vamos considerar que a tensão v(z,t) é cossenoidal.
A equação de uma onda de tensão cossenoidal e descrita por:
(7)
v(z) e são funções apenas da posição z
Considerando a identidade de Euler [ ], podemos reescrever a equação (7) como:
(8)
(9)
Da representação de função complexa:
(10)
Portanto:
(11)
(12)
A análise feita considerando uma onda de tensão tem seu equivalente em termos de uma onda de corrente.
Equação da onda viajante
Lembrando que:
e
temos que:
portanto:
da segunda solução
Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6):
(14)
(15)
Derivando a função primeira equação telegráfica (14) em função de z
(16)
e substituindo pela segunda equação telegráfica (15) temos:
(16)
fazendo
(17)
A equação (17) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Uma solução para esta equação é uma equação exponêncial, como:
(18)
onde A e são constantes arbitrárias.
Derivando duas vezes a equação (18) em função de z temos:
e a equação (17) pode ser reescrita como:
ou
ou
Uma solução para essa equação é , portanto:
Retornando para a representação no tempo:
Substituindo A por uma constante mais significativa
(19)
A equação (19) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção +z com amplitude em z=0 de
Da segunda solução temos:
(20)
A equação (20) corresponde a uma onda de tensão se propagando na direção -z com amplitude em z=0 de
A resposta completa da equação (18) é a equação da onda viajante no tempo, a qual é obtida pela soma das soluções individuais da equação diferencial:
Uma análise equivalente poderia ser realizada para i(z,t) obtendo: