Mudanças entre as edições de "Equações Telegráficas - Equações da Onda Viajante"
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Lembrando que: | Lembrando que: | ||
− | <math>{\partial \Re \left \{ e^{jwt} \right \} \over \partial t} ={\partial \Re \left \{ cos (wt) + jsen (wt) \right \} \over \partial t}</math> | + | <math>{\partial \Re \left \{ e^{jwt} \right \} \over \partial t} ={\partial \Re \left \{ cos (wt) + jsen (wt) \right \} \over \partial t}</math> |
− | <math>= {\partial cos(wt) \over \partial t} = -wsen (wt)</math> | + | <math>= {\partial cos(wt) \over \partial t} = -wsen (wt)</math> |
e | e | ||
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Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6): | Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6): | ||
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− | <math> | + | <math> {\partial V(z) \over \partial z} = -(R + Ljw) I(z) </math> (14) |
+ | <math>{\partial i(z,t) \over \partial z} = -(G + Cjw) V(z) </math> (15) | ||
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+ | <math> {\partial^2 V(z) \over \partial z^2} = -(R + Ljw) {\partial I(z) \over \partial z} </math> (16) | ||
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+ | e substituindo <math>{\partial I(z) \over \partial z}</math> pela segunda equação telegráfica (15) temos: | ||
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+ | <math> {\partial^2 V(z) \over \partial z^2} = (R + Ljw) (G + Cjw) V(z) </math> (16) | ||
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+ | fazendo <math> \gama^2 = (R + Ljw) (G + Cjw)</math> | ||
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+ | A equação (17) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Uma solução para esta equação é uma equação exponêncial, como: | ||
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+ | <math>V(z) = Ae^{\lambda z}</math> (18) onde A e <math>\lambda</math> são constantes arbitrárias. | ||
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+ | Derivando duas vezes a equação (18) em função de z temos: | ||
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+ | <math>{\partial^2 V(z) \over \partil z^2 =\lambda^2Ae{\lambdaz}}</math> | ||
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+ | e a equação (17) pode ser reescrita como: | ||
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+ | <math>\lambda^2Ae^{\lambda z} - \gama^2 Ae{\lambda z} = 0</math> | ||
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+ | <math>\lambda^2 - \gama^2 = 0 </math> ou <math>(\lambda+\gama)(\lambda-\gama) = 0 </math> | ||
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+ | Uma solução para essa equação é <math>\lambda = -\gama </math>, portanto: | ||
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+ | <math>V(z) = Ae^{-\gama z}</math> | ||
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+ | Retornando para a representação no tempo: | ||
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+ | <math>v(z,t) = Ae^{-\alfa z} cos (wt - \beta z)</math> |
Edição das 15h23min de 4 de setembro de 2015
A figura abaixo mostra uma seção infinitesimal de uma linha de transmissão sendo submetida a uma tensão e percorrida por uma corrente. A partir da análise das tensões e correntes instantâneas desse modelo chegaremos nas equações da onda viajante na linha de transmissão.
fonte: WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado: Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão. Bookman, 2009.
A partir de Kirchhoff para a malha temos:
(1)
E de Kirchhoff para o nó a:
(2)
Dividindo as equações (1) E (2) por e fazendo :
(3)
(4)
Os limites nas equações (4) e (5) correspondem a definição de derivada, portanto podemos escrever as equações telegráficas:
(5) |
(6) |
Solução das equações telegráficas via uma função harmônica no tempo (sinusoidal)
Vamos obter a solução para as equações telegráficas a partir de uma solução harmônica no tempo, isto é, vamos considerar que a tensão v(z,t) é cossenoidal.
A equação de uma onda de tensão cossenoidal e descrita por:
(7)
v(z) e são funções apenas da posição z
Considerando a identidade de Euler [ ], podemos reescrever a equação (7) como:
(8)
(9)
Da representação de função complexa:
(10)
Portanto:
(11)
(12)
A análise feita considerando uma onda de tensão tem seu equivalente em termos de uma onda de corrente.
Equação da onda viajante
Lembrando que:
e
temos que:
portanto:
Utilizando a notação de função complexa e substituindo v(z,t) e i(z,t) nas equações telegráficas (5) e (6):
(14)
(15)
Derivando a função primeira equação telegráfica (14) em função de z
(16)
e substituindo pela segunda equação telegráfica (15) temos:
(16)
fazendo Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\gama'): {\displaystyle \gama^2 = (R + Ljw) (G + Cjw)}
Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\gama'): {\displaystyle {\partial^2 V(z) \over \partial z^2} -(\gama^2 V(z) =0 } (17)
A equação (17) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Uma solução para esta equação é uma equação exponêncial, como:
(18) onde A e são constantes arbitrárias.
Derivando duas vezes a equação (18) em função de z temos:
Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\partil'): {\displaystyle {\partial^2 V(z) \over \partil z^2 =\lambda^2Ae{\lambdaz}}}
e a equação (17) pode ser reescrita como:
Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\gama'): {\displaystyle \lambda^2Ae^{\lambda z} - \gama^2 Ae{\lambda z} = 0}
ou
Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\gama'): {\displaystyle \lambda^2 - \gama^2 = 0 } ou Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\gama'): {\displaystyle (\lambda+\gama)(\lambda-\gama) = 0 }
Uma solução para essa equação é Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\gama'): {\displaystyle \lambda = -\gama } , portanto:
Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\gama'): {\displaystyle V(z) = Ae^{-\gama z}}
Retornando para a representação no tempo:
Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\alfa'): {\displaystyle v(z,t) = Ae^{-\alfa z} cos (wt - \beta z)}