Coeficiente de reflexão, Impedância de entrada e Potência

Uma linha de transmissão possui uma impedância característica Zo definida pela relação entre a $V^{+}$ e $I^{+}$. Considere que uma carga $Z_{L}$ é acoplada a um dos terminais da linha (figura 1)

figura 1: Linha com carga

Sobre essa carga teremos uma tensão $V_{L}$, fazendo circular uma corrente $I_{L}$.

Na linha teremos as tensões $V^{+}$ e $V^{-}$ e as correntes $I^{+}$ e $I^{-}$, conforme indicado no figura 2.

figura 2: Linhas com carga com tensões e correntes.

podemos escrever $Z_{L}$ como:

$Z_{L}={V_{L} \over I_{L}}$

Mas no nó terminal a da linha a tensão é a soma fasorial de $V^{+}$ e $V^{-}$, portanto

$V_{L}=V^{+}e^{-\gamma z}+V^{-}e^{\gamma z}$

do nó a podemos retirar ainda a relação:

$I_{L}=I^{+}e^{-\gamma z}+I^{-}e^{\gamma z}$

considerando o nó a como o ponto onde z = 0:

$Z_{L}={V^{+}+V^{-} \over I^{+}+I^{-}}$

como

$Z_{o}={V^{+} \over I^{+}}={-V^{-} \over I^{-}}$

podemos escrever:

$Z_{L}={V^{+}+V^{-} \over {{V^{+} \over Z_{o}}-{V^{-} \over Z_{o}}}}$

fazendo algumas manipulações algébricas:

${V^{-} \over V^{+}}={Z_{L}-Z_{o} \over Z_{L}+Z_{o}}$

À relação ${V^{-} \over V^{+}}$ chamamos de coeficiente de reflexão e representamos pela letra grega Γ

Para diferenciar de outro ponto da linha iremos identificar o coeficiente de reflexão na carga por $\Gamma _{L}$

$\Gamma _{L}={Z_{L}-Z_{o} \over Z_{L}+Z_{o}}$

coeficiente de reflexão afastado da carga

O valor de Γ em qualquer ponto da linha será dado pela relação entre ${V^{+} \over V^{-}}$, sendo assim para um ponto afastado uma distância l da carga teremos:

$\Gamma ={V_{o}^{-}e^{\gamma l} \over V_{o}^{+}e^{-\gamma l}}$

$\Gamma =\Gamma _{L}e^{2\gamma l}$

Impedância de entrada

A relação entre a tensão e a corrente total em um determinado ponto da linha de transmissão é conhecida como Zin, impedância de entrada.

figura 3: Impedância de entrada - é a impedância vista em um ponto da linha.

Observe que não estamos nos referindo a Zo (impedância característica) esta corresponde a relação ${V^{+} \over I^{+}}$, enquanto que Zin é dada por:

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle Z_in(z)= { V_o^+ e{-\gamma z} + V_o^- e{\gamma z} \over I_o^+ e{-\gamma z} + I_o^+ e{-\gamma z}}

substituindo I_o^+ e{-\gamma z} e $I_{o}^{+}e{-\gamma z}$ por:

$I_{o}^{+}e{-\gamma z}={V_{o}^{+}e{-\gamma z} \over Z_{o}}$ $I_{o}^{-}e{\gamma z}={-V_{o}^{-}e{\gamma z} \over Z_{o}}$

temos:

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle Z_in(z)= Z_o { V_o^+ e{-\gamma z} + V_o^- e{\gamma z} \over V_o^+ e{-\gamma z} - V_o^- e{\gamma z}}

agora substituindo $V_{o}^{-}=\Gamma V_{o}^{+}$:

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle Z_in(z)= Z_o { V_o^+ e{-\gamma z} + \Gamma V_o^+ e{\gamma z} \over V_o^+ e{-\gamma z} - \Gamma V_o^ e{\gamma z}}

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle Z_in(z)= Z_o { e{-\gamma z}} + \Gamma e{\gamma z}</math> \over e{-\gamma z}</math> - \Gamma e{\gamma z}</math>

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle Z_in(z)= Z_o { e{-\gamma z}} + {(Z_L -Z_o) \over (Z_L + Z_o)} e{\gamma z}</math> \over e{-\gamma z}</math> - {(Z_L -Z_o) \over (Z_L + Z_o)} e{\gamma z}</math>

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle Z_in(z)= Z_o { (Z_L + Z_o)e{-\gamma z}} + (Z_L -Z_o) e{\gamma z}</math> \over (Z_L + Z_o)e{-\gamma z}</math> - (Z_L -Z_o) e{\gamma z}</math>

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle Z_in(z)= Z_o { (Z_L + Z_o)e{-\gamma z}} + (Z_L -Z_o) e{\gamma z}</math> \over (Z_L + Z_o)e{-\gamma z}</math> - (Z_L -Z_o) e{\gamma z}</math>