Coeficiente de reflexão, Impedância de entrada e Potência

Uma linha de transmissão possui uma impedância característica Zo definida pela relação entre a $V^{+}$ e $I^{+}$. Considere que uma carga $Z_{L}$ é acoplada a um dos terminais da linha (figura 1).

figura 1: Linha com carga

Sobre essa carga teremos uma tensão $V_{L}$, fazendo circular uma corrente $I_{L}$. Na linha teremos as tensões $V^{+}$ e $V^{-}$ e as correntes $I^{+}$ e $I^{-}$, conforme indicado no figura 2.

figura 2: Linhas com carga com tensões e correntes.

Podemos escrever $Z_{L}$ como:

$\ Z_{L}={V_{L} \over I_{L}}$

Mas no nó terminal a da linha a tensão é a soma fasorial de $V^{+}$ e $V^{-}$, portanto:

$\ V_{L}=V^{+}e^{-\gamma z}+V^{-}e^{\gamma z}$

Do terminal a podemos retirar ainda a relação:

$\ I_{L}=I^{+}e^{-\gamma z}+I^{-}e^{\gamma z}$

Considerando o terminal a como o ponto onde z = 0:

$\ Z_{L}={V^{+}+V^{-} \over I^{+}+I^{-}}$

como,

$\ Z_{o}={V^{+} \over I^{+}}={-V^{-} \over I^{-}}$

podemos escrever:

$\ Z_{L}={V^{+}+V^{-} \over {{V^{+} \over Z_{o}}-{V^{-} \over Z_{o}}}}$

fazendo algumas manipulações algébricas:

$\ {V^{-} \over V^{+}}={Z_{L}-Z_{o} \over Z_{L}+Z_{o}}$

À relação ${V^{-} \over V^{+}}$ chamamos de coeficiente de reflexão e representamos pela letra grega Γ

Para diferenciar o coeficiente de reflexão na carga do obtido em outro ponto da linha iremos identificar esse por $\Gamma _{L}$

$\ \Gamma _{L}={Z_{L}-Z_{o} \over Z_{L}+Z_{o}}$

coeficiente de reflexão afastado da carga

O valor de Γ em qualquer ponto da linha será dado pela relação entre ${V^{+} \over V^{-}}$, sendo assim para um ponto afastado uma distância l da carga teremos:

$\ \Gamma ={V_{o}^{-}e^{\gamma l} \over V_{o}^{+}e^{-\gamma l}}$

$\Gamma =\Gamma _{L}e^{2\gamma l}(1)$

Impedância de entrada

A relação entre a tensão e a corrente total em um determinado ponto da linha de transmissão é conhecida como Zin, impedância de entrada.

figura 3: Impedância de entrada - é a impedância vista em um ponto da linha.

Observe que $Z_{i}n$ é dada em função de $-l$

não estamos nos referindo a Zo (impedância característica) esta corresponde a relação ${V^{+} \over I^{+}}$, enquanto que Zin é dada por:

$\ Z_{in(-l)}={V_{o}^{+}e^{\gamma l}+V_{o}^{-}e^{-\gamma l} \over I_{o}^{+}e^{\gamma l}+I_{o}^{-}e^{-\gamma l}}$

substituindo $I_{o}^{+}$ e $I_{o}^{+}$ por:

$\ I_{o}^{+}={V_{o}^{+} \over Z_{o}}$

$\ I_{o}^{-}={-V_{o}^{-} \over Z_{o}}$

temos:

$\ Z_{in(z)}=Z_{o}{V_{o}^{+}e^{\gamma z}+V_{o}^{-}e^{-\gamma z} \over V_{o}^{+}e^{\gamma z}-V_{o}^{-}e^{-\gamma z}}$

agora substituindo $V_{o}^{-}=\Gamma _{L}V_{o}^{+}$:

$\ Z_{in(z)}=Z_{o}{V_{o}^{+}e^{\gamma z}+\Gamma _{L}V_{o}^{+}e^{-\gamma z} \over V_{o}^{+}e^{\gamma z}-\Gamma _{L}V_{o}^{+}e^{-\gamma z}}$

$\ Z_{in(z)}=Z_{o}{e^{\gamma z}+\Gamma _{L}e^{-\gamma z} \over e^{\gamma z}-\Gamma _{L}e^{-\gamma z}}$

$\ Z_{in(z)}=Z_{o}{e^{\gamma z}+{(Z_{L}-Z_{o}) \over (Z_{L}+Z_{o})}e^{-\gamma z} \over e^{\gamma z}-{(Z_{L}-Z_{o}) \over (Z_{L}+Z_{o})}e^{-\gamma z}}$

$\ Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(e^{\gamma z}+e^{-\gamma z})+Z_{o}(e^{\gamma z}-e^{-\gamma z}) \over Z_{L}(e^{\gamma z}-e^{-\gamma z})+Z_{o}(e^{\gamma z}+e^{-\gamma z})}$

dividindo numerador e denominador por $e^{\gamma z}+e^{-\gamma z}$ e lembrando que:

$\ \tanh {e^{t}-e^{-t} \over e^{t}+e^{-t}}$

temos:

$\ Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}+Z_{o}tanh\gamma z \over Z_{o}+Z_{L}tanh\gamma z}(2)$

Potência incidente, entregue à carga e refletida

Potência incidente

Ao conectar uma fonte em uma linha de transmissão, passa a se propagar pela linha uma onda de tensão e outra de corrente. Essas duas ondas transportam energia elétrica (figura 1).

Figura 4: linha percorrida por onda de tensão e corrente que transmitem potência elétrica.

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Se a fonte de tensão for harmônica, cossenoidal por exemplo, podemos calcular a potência média ativa transmitida por:

$\ P^{+}(l)={1 \over 2}\Re \{V(l)^{+}.I(l)^{+*}\}$ (3)

$\ V(l)^{+}$ e $I(l)^{+}$ são dados por:

$\ V(l)^{+}=V_{o}^{+}e^{-\alpha l}e^{-j\beta l}$ (4)

$\ I(l)^{+}=I_{o}^{+}e^{-\alpha l}e^{j\theta }e^{-j\beta l}$ (5)

O termo $e^{j\theta }$ na equação (5) corresponde ao ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente na linha.

Substituindo (4) e (5) em (3) e lembrando que $|Z_{o}|={V(z)^{+} \over I(z)^{+}}$:

$\ P^{+}(l)={1 \over 2}\Re \{V_{o}^{+}e^{-\alpha l}e^{-j\beta l}.I_{o}^{+}e^{-\alpha l}e^{-j\theta }e^{j\beta l}\}$

$\ P^{+}(l)={1 \over 2}\Re \{V_{o}^{+}e^{-\alpha l}e^{-j\beta l}.{V(z)^{+} \over I(l)^{+}}e^{-\alpha l}e^{-j\theta }e^{j\beta l}\}$

$\ P^{+}(l)={1 \over 2}\Re \{{V_{o}^{+2} \over |Zo|}e^{-2\alpha l}e^{-j\theta }\}$

o que pode ser escrito como:

$\ P^{+}(z)={1 \over 2}{V_{o}^{+2} \over |Z_{o}|}e^{-2\alpha l}\cos \theta$ (7)

A equação (7) representa a potência transmitida na linha ou potência incidente. Note que a constante α representa a constante de atenuação da linha.

Potência entregue à carga

A potência ativa entregue à carga pela linha ($P_{L}$) pode ser calculada por:

$\ P_{L}=\Re \{V_{L}.I_{L}^{*}\}$

Que pode ser reescrita em função das tensões e correntes no terminal a da linha de transmissão.

$\ P_{L}=\Re \{V(z).I(z)^{*}\}$

$\ P_{L}=\Re \{(V_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+V_{o}^{-}e^{\alpha z}e^{j\beta z}).(I_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{j\theta }e^{j\beta z}+I_{o}^{-}e^{\alpha z}e^{j\theta }e^{-j\beta z})\}$

$\ P_{L}=\Re \{(V_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+\Gamma V_{o}^{+}e^{\alpha z}e^{j\beta z}).({V_{o}^{+} \over Z_{o}}e^{-\alpha z}e^{j\theta }e^{j\beta z}+-\Gamma {V_{o}^{+} \over Z_{o}}e^{\alpha z}e^{j\theta }e^{-j\beta z})\}$

Considerando o terminal a como o ponto onde z=0:

$\ P_{L}=\Re \{(V_{o}^{+}+\Gamma V_{o}^{+}).({V_{o}^{+} \over Z_{o}}e^{j\theta }-\Gamma {V_{o}^{+} \over Z_{o}}e^{j\theta })\}$

$\ P_{L}=\Re \{{V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{j\theta }-\Gamma ^{2}{V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{j\theta }\}$

$\ P_{L}=\Re \{{V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{j\theta }(1-\Gamma ^{2})\}$

o termo $\ \Re \{{V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{j\theta }\}$ é exatamente a potência incidente no terminal a portanto:

$\ P_{L}=P^{+'}(1-\Gamma ^{2})$ (8)

A linha em $P^{+'}$ na equação (8) representa que o cálculo de $P_{L}$ deve ser realizado descontando a atenuação da linha, isto utilizando o valor de $P(z)^{+}$ no terminal a.

Potência Refletida

Manipulando um pouco a equação (8) podemos encontrar o relação entre a potência incidente, a potência refletida e a potência entregue à carga:

$\ P_{L}=P^{+'}(1-\Gamma ^{2})$

$\ P_{L}=P^{+'}-\Gamma ^{2}P^{+'}$

$\ P_{L}={V^{+'2} \over Z_{o}}-\Gamma ^{2}{V^{+'2} \over Z_{o}}$

$\ P_{L}={V^{+'2} \over Z_{o}}-{(\Gamma .V^{+'})^{2} \over Z_{o}}$

$\ P_{L}={V^{+'2} \over Z_{o}}-{V_{o}^{-'2} \over Z_{o}}$ (9)

O primeiro termo do lado direito da equação (9) corresponde a potência incidente no terminal a e o segundo termo a potência refletida no mesmo terminal. Esta relação mostra que a parcela de potência que chega ao final da linha e não é absorvida pela carga, retorno para linha. Isto é, V^-(z) e I^-(z) são as ondas refletidas na linha e transportam a potência refletida.

Potências na linha e entregue à carga

Potência incidente	$\ P^{+}(z)={V^{+'2} \over Z_{o}}e^{-2\gamma z}cos\theta$
Potência refletida	$\ P^{-}(z)={V^{-'2} \over Z_{o}}e^{-2\gamma z}cos\theta$
Potência entregue à carga	$\ P_{L}={V^{+'2} \over Z_{o}}-{V_{o}^{-2} \over Z_{o}}$