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| [[Arquivo:Impedancia_de_entrada.gif]] | | [[Arquivo:Impedancia_de_entrada.gif]] |
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| + | Observe que <math>Z_in</math> é dada em função de <math>-l</math> |
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− | Observe que '''não estamos nos referindo a '''Zo'''''' (impedância característica) esta corresponde a relação''' <math> {V^+ \over I^+}</math>''', enquanto que '''Zin''' é dada por:
| + | '''não estamos nos referindo a '''Zo''' (impedância característica) esta corresponde a relação''' <math> {V^+ \over I^+}</math>''', enquanto que '''Zin''' é dada por: |
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− | ::::<math>Z_{in(z)}= { V_o^+ e^{-\gamma z} + V_o^- e^{\gamma z} \over I_o^+ e^{-\gamma z} + I_o^- e^{\gamma z}}</math> | + | ::::<math>Z_{in(-l)}= { V_o^+ e^{\gamma l} + V_o^- e^{-\gamma l} \over I_o^+ e^{\gamma l} + I_o^- e^{-\gamma l}}</math> |
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Linha 109: |
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− | ::::<math>Z_{in(z)}= Z_o { V_o^+ e^{-\gamma z} + V_o^- e^{\gamma z} \over V_o^+ e^{-\gamma z} - V_o^- e^{\gamma z}}</math> | + | ::::<math>Z_{in(z)}= Z_o { V_o^+ e^{\gamma z} + V_o^- e^{-\gamma z} \over V_o^+ e^{\gamma z} - V_o^- e^{-\gamma z}}</math> |
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− | agora substituindo <math>V_o^- = \Gamma V_o^+</math>: | + | agora substituindo <math>V_o^- = \Gamma_L V_o^+</math>: |
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− | ::::<math>Z_{in(z)}= Z_o { V_o^+ e^{-\gamma z} + \Gamma V_o^+ e^{\gamma z} \over V_o^+ e^{-\gamma z} - \Gamma V_o^+ e^{\gamma z}}</math> | + | ::::<math>Z_{in(z)}= Z_o { V_o^+ e^{\gamma z} + \Gamma_L V_o^+ e^{-\gamma z} \over V_o^+ e^{\gamma z} - \Gamma_L V_o^+ e^{-\gamma z}}</math> |
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− | ::::<math>Z_{in(z)}= Z_o {e^{-\gamma z} + \Gamma e^{\gamma z} \over e^{-\gamma z} - \Gamma e^{\gamma z}}</math> | + | ::::<math>Z_{in(z)}= Z_o {e^{\gamma z} + \Gamma_L e^{-\gamma z} \over e^{\gamma z} - \Gamma_L e^{-\gamma z}}</math> |
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− | ::::<math>Z_{in(z)}= Z_o { e^{-\gamma z} + {(Z_L -Z_o) \over (Z_L + Z_o)} e^{\gamma z} \over e^{-\gamma z} - {(Z_L -Z_o) \over (Z_L + Z_o)} e^{\gamma z}}</math> | + | ::::<math>Z_{in(z)}= Z_o { e^{\gamma z} + {(Z_L -Z_o) \over (Z_L + Z_o)} e^{-\gamma z} \over e^{\gamma z} - {(Z_L -Z_o) \over (Z_L + Z_o)} e^{-\gamma z}}</math> |
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− | ::::<math>Z_{in(z)}= Z_o { Z_L (e^{-\gamma z} + e^{\gamma z}) + Z_o(e^{-\gamma z} - e^{\gamma z}) \over Z_L (e^{-\gamma z} - e^{\gamma z}) + Z_o (e^{-\gamma z} + e^{\gamma z})}</math> | + | ::::<math>Z_{in(z)}= Z_o { Z_L (e^{\gamma z} + e^{-\gamma z}) + Z_o(e^{\gamma z} - e^{-\gamma z}) \over Z_L (e^{\gamma z} - e^{-\gamma z}) + Z_o (e^{\gamma z} + e^{-\gamma z})}</math> |
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− | dividindo numerador e denominador por <math>e^{-\gamma z} + e^{\gamma z}</math> e lembrando que: | + | dividindo numerador e denominador por <math>e^{\gamma z} + e^{-\gamma z}</math> e lembrando que: |
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Uma linha de transmissão possui uma impedância característica Zo definida pela relação entre a e . Considere que uma carga é acoplada a um dos terminais da linha (figura 1).
figura 1: Linha com carga
Sobre essa carga teremos uma tensão , fazendo circular uma corrente . Na linha teremos as tensões e e as correntes e , conforme indicado no figura 2.
figura 2: Linhas com carga com tensões e correntes.
Podemos escrever como:
Mas no nó terminal a da linha a tensão é a soma fasorial de e , portanto:
Do terminal a podemos retirar ainda a relação:
Considerando o terminal a como o ponto onde z = 0:
como,
podemos escrever:
fazendo algumas manipulações algébricas:
À relação chamamos de coeficiente de reflexão e representamos pela letra grega Γ
Para diferenciar o coeficiente de reflexão na carga do obtido em outro ponto da linha iremos identificar esse por
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coeficiente de reflexão afastado da carga
O valor de Γ em qualquer ponto da linha será dado pela relação entre , sendo assim para um ponto afastado uma distância l da carga teremos:
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Impedância de entrada
A relação entre a tensão e a corrente total em um determinado ponto da linha de transmissão é conhecida como Zin, impedância de entrada.
figura 3: Impedância de entrada - é a impedância vista em um ponto da linha.
Observe que é dada em função de
não estamos nos referindo a Zo (impedância característica) esta corresponde a relação , enquanto que Zin é dada por:
substituindo e por:
temos:
agora substituindo :
dividindo numerador e denominador por e lembrando que:
temos:
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Potência incidente, entregue à carga e refletida
Potência incidente
Ao conectar uma fonte em uma linha de transmissão, passa a se propagar pela linha uma onda de tensão e outra de corrente. Essas duas ondas transportam energia elétrica (figura 1).
Figura 4: linha percorrida por onda de tensão e corrente que transmitem potência elétrica.
Se a fonte de tensão for harmônica, cossenoidal por exemplo, podemos calcular a potência média ativa transmitida por:
- (3)
- e são dados por:
- (4)
- (5)
O termo na equação (5) corresponde ao ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente na linha.
Substituindo (4) e (5) em (3) e lembrando que :
o que pode ser escrito como:
(7)
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A equação (7) representa a potência transmitida na linha ou potência incidente. Note que a constante α representa a constante de atenuação da linha.
Potência entregue à carga
A potência ativa entregue à carga pela linha () pode ser calculada por:
Que pode ser reescrita em função das tensões e correntes no terminal a da linha de transmissão.
Considerando o terminal a como o ponto onde z=0:
o termo é exatamente a potência incidente no terminal a portanto:
(8)
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A linha em na equação (8) representa que o cálculo de deve ser realizado descontando a atenuação da linha, isto utilizando o valor de no terminal a.
Potência Refletida
Manipulando um pouco a equação (8) podemos encontrar o relação entre a potência incidente, a potência refletida e a potência entregue à carga:
(9)
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O primeiro termo do lado direito da equação (9) corresponde a potência incidente no terminal a e o segundo termo a potência refletida no mesmo terminal. Esta relação mostra que a parcela de potência que chega ao final da linha e não é absorvida pela carga, retorno para linha. Isto é, V^-(z) e I^-(z) são as ondas refletidas na linha e transportam a potência refletida.
Potências na linha e entregue à carga
Potência incidente |
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Potência refletida |
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Potência entregue à carga |
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