Mudanças entre as edições de "Coeficiente de reflexão, Impedância de entrada e Potência"
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− | |<math>\Gamma = \Gamma _L e^{2\gamma l} </math> | + | |<math>\Gamma = \Gamma _L e^{2\gamma l} (1)</math> |
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− | |<math>Z_{in(z)}= Z_o {Z_L + Z_o tanh \gamma z \over Z_o + Z_L tanh \gamma z}</math> | + | |<math>Z_{in(z)}= Z_o {Z_L + Z_o tanh \gamma z \over Z_o + Z_L tanh \gamma z} (2)</math> |
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Figura 4: linha percorrida por onda de tensão e corrente que transmitem potência elétrica. | Figura 4: linha percorrida por onda de tensão e corrente que transmitem potência elétrica. | ||
− | [[Potencia_incidente.gif ]] | + | [[Potencia_incidente.gif]] |
Se a fonte de tensão for harmônica, cossenoidal por exemplo, podemos calcular a potência média ativa transmitida por: | Se a fonte de tensão for harmônica, cossenoidal por exemplo, podemos calcular a potência média ativa transmitida por: | ||
− | <math>P^+(z) = {1 \over 2} \Re \{V(z)^+.I(z)^{+*} \}</math> ( | + | <math>P^+(z) = {1 \over 2} \Re \{V(z)^+.I(z)^{+*} \}</math> (3) |
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− | <math>V(z)^+ = V_o^+ e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} </math> ( | + | <math>V(z)^+ = V_o^+ e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} </math> (4) |
− | <math>I(z)^+ = I_o^+ e^{-\alpha z} e^{j\theta} e^{-j\beta z} </math> ( | + | <math>I(z)^+ = I_o^+ e^{-\alpha z} e^{j\theta} e^{-j\beta z} </math> (5) |
− | O termo <math>e^{j\theta}</math> na equação ( | + | O termo <math>e^{j\theta}</math> na equação (5) corresponde ao ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente na linha. |
− | Substituindo ( | + | Substituindo (4) e (5) em (3) e lembrando que <math>|Z_o| = {V(z)^+ \over I(z)^+}</math>: |
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− | |<math>P^+(z) = {1 \over 2} {V_o^{+2} \over |Z_o|} e^{-2\alpha z} \cos \theta</math> ( | + | |<math>P^+(z) = {1 \over 2} {V_o^{+2} \over |Z_o|} e^{-2\alpha z} \cos \theta</math> (7) |
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− | A equação ( | + | A equação (7) representa a potência transmitida na linha ou potência incidente. Note que a constante α representa a constante de atenuação da linha. |
=== Potência entregue à carga === | === Potência entregue à carga === | ||
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o termo <math>\Re \{{V_o^{+2} \over Z_o}e^{j\theta}\}</math> é exatamente a potência incidente no terminal '''a''' portanto: | o termo <math>\Re \{{V_o^{+2} \over Z_o}e^{j\theta}\}</math> é exatamente a potência incidente no terminal '''a''' portanto: | ||
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+ | |<math>P_L = P^{+'} (1 - \Gamma^2) </math> (8) | ||
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− | + | A linha em <math>P^{+'}</math> na equação (8) representa que o cálculo de <math>P_L</math> deve ser realizado descontando a atenuação da linha, isto utilizando o valor de <math>P(z)^{+}</math> no terminal '''a'''. |
Edição das 13h47min de 10 de setembro de 2015
Uma linha de transmissão possui uma impedância característica Zo definida pela relação entre a e . Considere que uma carga é acoplada a um dos terminais da linha (figura 1).
figura 1: Linha com carga
Sobre essa carga teremos uma tensão , fazendo circular uma corrente . Na linha teremos as tensões e e as correntes e , conforme indicado no figura 2.
figura 2: Linhas com carga com tensões e correntes.
Podemos escrever como:
Mas no nó terminal a da linha a tensão é a soma fasorial de e , portanto:
Do terminal a podemos retirar ainda a relação:
Considerando o terminal a como o ponto onde z = 0:
como,
podemos escrever:
fazendo algumas manipulações algébricas:
À relação chamamos de coeficiente de reflexão e representamos pela letra grega Γ
Para diferenciar o coeficiente de reflexão na carga do obtido em outro ponto da linha iremos identificar esse por
coeficiente de reflexão afastado da carga
O valor de Γ em qualquer ponto da linha será dado pela relação entre , sendo assim para um ponto afastado uma distância l da carga teremos:
Impedância de entrada
A relação entre a tensão e a corrente total em um determinado ponto da linha de transmissão é conhecida como Zin, impedância de entrada.
figura 3: Impedância de entrada - é a impedância vista em um ponto da linha.
Observe que não estamos nos referindo a Zo' (impedância característica) esta corresponde a relação' , enquanto que Zin é dada por:
substituindo e por:
temos:
agora substituindo :
dividindo numerador e denominador por e lembrando que:
temos:
Potência incidente, entregue à carga e refletida
Potência incidente
Ao conectar uma fonte em uma linha de transmissão, passa a se propagar pela linha uma onda de tensão e outra de corrente. Essas duas ondas transportam energia elétrica (figura 1).
Figura 4: linha percorrida por onda de tensão e corrente que transmitem potência elétrica.
Se a fonte de tensão for harmônica, cossenoidal por exemplo, podemos calcular a potência média ativa transmitida por:
(3)
e são dados por:
(4)
(5)
O termo na equação (5) corresponde ao ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente na linha.
Substituindo (4) e (5) em (3) e lembrando que :
o que pode ser escrito como:
(7) |
A equação (7) representa a potência transmitida na linha ou potência incidente. Note que a constante α representa a constante de atenuação da linha.
Potência entregue à carga
A potência ativa entregue à carga pela linha () pode ser calculada por:
Que pode ser reescrita em função das tensões e correntes no terminal a da linha de transmissão.
Considerando o terminal a como o ponto onde z=0:
o termo é exatamente a potência incidente no terminal a portanto:
(8) |
A linha em na equação (8) representa que o cálculo de deve ser realizado descontando a atenuação da linha, isto utilizando o valor de no terminal a.