Coeficiente de reflexão, Impedância de entrada e Potência

Uma linha de transmissão possui uma impedância característica Zo definida pela relação entre a $V^{+}$ e $I^{+}$. Considere que uma carga $Z_{L}$ é acoplada a um dos terminais da linha (figura 1).

figura 1: Linha com carga

Sobre essa carga teremos uma tensão $V_{L}$, fazendo circular uma corrente $I_{L}$. Na linha teremos as tensões $V^{+}$ e $V^{-}$ e as correntes $I^{+}$ e $I^{-}$, conforme indicado no figura 2.

figura 2: Linhas com carga com tensões e correntes.

Podemos escrever $Z_{L}$ como:

$Z_{L}={V_{L} \over I_{L}}$

Mas no nó terminal a da linha a tensão é a soma fasorial de $V^{+}$ e $V^{-}$, portanto:

$V_{L}=V^{+}e^{-\gamma z}+V^{-}e^{\gamma z}$

Do terminal a podemos retirar ainda a relação:

$I_{L}=I^{+}e^{-\gamma z}+I^{-}e^{\gamma z}$

Considerando o terminal a como o ponto onde z = 0:

$Z_{L}={V^{+}+V^{-} \over I^{+}+I^{-}}$

como,

$Z_{o}={V^{+} \over I^{+}}={-V^{-} \over I^{-}}$

podemos escrever:

$Z_{L}={V^{+}+V^{-} \over {{V^{+} \over Z_{o}}-{V^{-} \over Z_{o}}}}$

fazendo algumas manipulações algébricas:

${V^{-} \over V^{+}}={Z_{L}-Z_{o} \over Z_{L}+Z_{o}}$

À relação ${V^{-} \over V^{+}}$ chamamos de coeficiente de reflexão e representamos pela letra grega Γ

Para diferenciar o coeficiente de reflexão na carga do obtido em outro ponto da linha iremos identificar esse por $\Gamma _{L}$

$\Gamma _{L}={Z_{L}-Z_{o} \over Z_{L}+Z_{o}}$

coeficiente de reflexão afastado da carga

O valor de Γ em qualquer ponto da linha será dado pela relação entre ${V^{+} \over V^{-}}$, sendo assim para um ponto afastado uma distância l da carga teremos:

$\Gamma ={V_{o}^{-}e^{\gamma l} \over V_{o}^{+}e^{-\gamma l}}$

$\Gamma =\Gamma _{L}e^{2\gamma l}$

Impedância de entrada

A relação entre a tensão e a corrente total em um determinado ponto da linha de transmissão é conhecida como Zin, impedância de entrada.

figura 3: Impedância de entrada - é a impedância vista em um ponto da linha.

Observe que não estamos nos referindo a Zo' (impedância característica) esta corresponde a relação' ${V^{+} \over I^{+}}$, enquanto que Zin é dada por:

$Z_{in(z)}={V_{o}^{+}e^{-\gamma z}+V_{o}^{-}e^{\gamma z} \over I_{o}^{+}e^{-\gamma z}+I_{o}^{-}e^{\gamma z}}$

substituindo $I_{o}^{+}$ e $I_{o}^{+}$ por:

$I_{o}^{+}={V_{o}^{+} \over Z_{o}}$

$I_{o}^{-}={-V_{o}^{-} \over Z_{o}}$

temos:

$Z_{in(z)}=Z_{o}{V_{o}^{+}e^{-\gamma z}+V_{o}^{-}e^{\gamma z} \over V_{o}^{+}e^{-\gamma z}-V_{o}^{-}e^{\gamma z}}$

agora substituindo $V_{o}^{-}=\Gamma V_{o}^{+}$:

$Z_{in(z)}=Z_{o}{V_{o}^{+}e^{-\gamma z}+\Gamma V_{o}^{+}e^{\gamma z} \over V_{o}^{+}e^{-\gamma z}-\Gamma V_{o}^{+}e^{\gamma z}}$

$Z_{in(z)}=Z_{o}{e^{-\gamma z}+\Gamma e^{\gamma z} \over e^{-\gamma z}-\Gamma e^{\gamma z}}$

$Z_{in(z)}=Z_{o}{e^{-\gamma z}+{(Z_{L}-Z_{o}) \over (Z_{L}+Z_{o})}e^{\gamma z} \over e^{-\gamma z}-{(Z_{L}-Z_{o}) \over (Z_{L}+Z_{o})}e^{\gamma z}}$

$Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(e^{-\gamma z}+e^{\gamma z})+Z_{o}(e^{-\gamma z}-e^{\gamma z}) \over Z_{L}(e^{-\gamma z}-e^{\gamma z})+Z_{o}(e^{-\gamma z}+e^{\gamma z})}$

dividindo numerador e denominador por $e^{-\gamma z}+e^{\gamma z}$ e lembrando que:

$\tanh {e^{t}-e^{-t} \over e^{t}+e^{-t}}$

temos:

$Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}+Z_{o}tanh\gamma z \over Z_{o}+Z_{L}tanh\gamma z}$

Potência incidente, entregue à carga e refletida

Potência incidente

Ao conectar uma fonte em uma linha de transmissão, passa a se propagar pela linha uma onda de tensão e outra de corrente. Essas duas ondas transportam energia elétrica (figura 1).

Figura 4: linha percorrida por onda de tensão e corrente que transmitem potência elétrica.

Potencia_incidente.gif‎

Se a fonte de tensão for harmônica, cossenoidal por exemplo, podemos calcular a potência média ativa transmitida por:

$P^{+}(z)={1 \over 2}\Re \{V(z)^{+}.I(z)^{+*}\}$ (1)

$V(z)^{+}$ e $I(z)^{+}$ são dados por:

$V(z)^{+}=V_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}$ (2)

$I(z)^{+}=I_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{j\theta }e^{-j\beta z}$ (3)

O termo $e^{j\theta }$ na equação (3) corresponde ao ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente na linha.

Substituindo (2) e (3) em (1) e lembrando que $|Z_{o}|={V(z)^{+} \over I(z)^{+}}$:

$P^{+}(z)={1 \over 2}\Re \{V_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}.I_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{-j\theta }e^{j\beta z}\}$

$P^{+}(z)={1 \over 2}\Re \{V_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}.{V(z)^{+} \over I(z)^{+}}e^{-\alpha z}e^{-j\theta }e^{j\beta z}\}$

$P^{+}(z)={1 \over 2}\Re \{{V_{o}^{+2} \over |Zo|}e^{-2\alpha z}e^{-j\theta }\}$

o que pode ser escrito como:

$P^{+}(z)={1 \over 2}{V_{o}^{+2} \over |Z_{o}|}e^{-2\alpha z}\cos \theta$ (4)

A equação (4) representa a potência transmitida na linha ou potência incidente. Note que a constante α representa a constante de atenuação da linha.

Potência entregue à carga

A potência ativa entregue à carga pela linha ($P_{L}$) pode ser calculada por:

$P_{L}=\Re \{V_{L}.I_{L}^{*}\}$

Que pode ser reescrita em função das tensões e correntes no terminal a da linha de transmissão.

$P_{L}=\Re \{V(z).I(z)^{*}\}$

$P_{L}=\Re \{(V_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+V_{o}^{-}e^{\alpha z}e^{j\beta z}).(I_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{j\theta }e^{j\beta z}+I_{o}^{-}e^{\alpha z}e^{j\theta }e^{-j\beta z})\}$

$P_{L}=\Re \{(V_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+\Gamma V_{o}^{+}e^{\alpha z}e^{j\beta z}).({V_{o}^{+} \over Z_{o}}e^{-\alpha z}e^{j\theta }e^{j\beta z}+-\Gamma {V_{o}^{+} \over Z_{o}}e^{\alpha z}e^{j\theta }e^{-j\beta z})\}$

Considerando o terminal a como o ponto onde z=0:

$P_{L}=\Re \{(V_{o}^{+}+\Gamma V_{o}^{+}).({V_{o}^{+} \over Z_{o}}e^{j\theta }-\Gamma {V_{o}^{+} \over Z_{o}}e^{j\theta })\}$

$P_{L}=\Re \{{V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{j\theta }-\Gamma ^{2}{V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{j\theta }\}$

$P_{L}=\Re \{{V_{o}^{+2} \over Z_{o}}e^{j\theta }(1-\Gamma ^{2}\}$

o termo \Re \{{V_o^{+2} \over Z_o}e^{j\theta}\}