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Linha 209: |
Linha 209: |
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− | <math>P_L = \Re {(V_o^+ e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} + V_o^- e^{\alpha z} e^{j\beta z}) . (I_o^+ e^{-\alpha z} e^{-j\theta} e^{j\beta z} + I_o^- e^{\alpha z} e^{-j\theta} e^{j\beta z})}</math> | + | <math>P_L = \Re {(V_o^+ e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} + V_o^- e^{\alpha z} e^{j\beta z}) . (I_o^+ e^{-\alpha z} e^{-j\theta} e^{-j\beta z} + I_o^- e^{\alpha z} e^{-j\theta} e^{j\beta z})}</math> |
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− | <math>P_L = \Re {(V_o^+ e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} + \Gamma V_o^+ e^{\alpha z} e^{j\beta z}) . ({V_o^+ \over Z_o} e^{-\alpha z} e^{-j\theta} e^{j\beta z} + -\Gamma{V_o^+ \over Z_o} e^{\alpha z} e^{-j\theta} e^{j\beta z})}</math> | + | <math>P_L = \Re {(V_o^+ e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} + \Gamma V_o^+ e^{\alpha z} e^{j\beta z}) . ({V_o^+ \over Z_o} e^{-\alpha z} e^{-j\theta} e^{-j\beta z} + -\Gamma{V_o^+ \over Z_o} e^{\alpha z} e^{-j\theta} e^{j\beta z})}</math> |
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Uma linha de transmissão possui uma impedância característica Zo definida pela relação entre a e . Considere que uma carga é acoplada a um dos terminais da linha (figura 1).
figura 1: Linha com carga
Sobre essa carga teremos uma tensão , fazendo circular uma corrente . Na linha teremos as tensões e e as correntes e , conforme indicado no figura 2.
figura 2: Linhas com carga com tensões e correntes.
Podemos escrever como:
Mas no nó terminal a da linha a tensão é a soma fasorial de e , portanto:
Do terminal a podemos retirar ainda a relação:
Considerando o terminal a como o ponto onde z = 0:
como,
podemos escrever:
fazendo algumas manipulações algébricas:
À relação chamamos de coeficiente de reflexão e representamos pela letra grega Γ
Para diferenciar o coeficiente de reflexão na carga do obtido em outro ponto da linha iremos identificar esse por
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coeficiente de reflexão afastado da carga
O valor de Γ em qualquer ponto da linha será dado pela relação entre , sendo assim para um ponto afastado uma distância l da carga teremos:
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Impedância de entrada
A relação entre a tensão e a corrente total em um determinado ponto da linha de transmissão é conhecida como Zin, impedância de entrada.
figura 3: Impedância de entrada - é a impedância vista em um ponto da linha.
Observe que não estamos nos referindo a Zo' (impedância característica) esta corresponde a relação' , enquanto que Zin é dada por:
substituindo e por:
temos:
agora substituindo :
dividindo numerador e denominador por e lembrando que:
temos:
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Potência incidente, entregue à carga e refletida
Potência incidente
Ao conectar uma fonte em uma linha de transmissão, passa a se propagar pela linha uma onda de tensão e outra de corrente. Essas duas ondas transportam energia elétrica (figura 1).
Figura 4: linha percorrida por onda de tensão e corrente que transmitem potência elétrica.
Potencia_incidente.gif
Se a fonte de tensão for harmônica, cossenoidal por exemplo, podemos calcular a potência média ativa transmitida por:
(1)
e são dados por:
(2)
(3)
O termo na equação (3) corresponde ao ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente na linha.
Substituindo (2) e (3) em (1) e lembrando que :
o que pode ser escrito como:
(4)
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A equação (4) representa a potência transmitida na linha ou potência incidente. Note que a constante α representa a constante de atenuação da linha.
Potência entregue à carga
A potência ativa entregue à carga pela linha () pode ser calculada por:
Que pode ser reescrita em função das tensões e correntes no terminal a da linha de transmissão.
Considerando o terminal a como o ponto onde z=0: