Coeficiente de reflexão, Impedância de entrada e Potência

Uma linha de transmissão possui uma impedância característica Zo definida pela relação entre a $V^{+}$ e $I^{+}$. Considere que uma carga $Z_{L}$ é acoplada a um dos terminais da linha (figura 1).

figura 1: Linha com carga

Sobre essa carga teremos uma tensão $V_{L}$, fazendo circular uma corrente $I_{L}$. Na linha teremos as tensões $V^{+}$ e $V^{-}$ e as correntes $I^{+}$ e $I^{-}$, conforme indicado no figura 2.

figura 2: Linhas com carga com tensões e correntes.

Podemos escrever $Z_{L}$ como:

$Z_{L}={V_{L} \over I_{L}}$

Mas no nó terminal a da linha a tensão é a soma fasorial de $V^{+}$ e $V^{-}$, portanto:

$V_{L}=V^{+}e^{-\gamma z}+V^{-}e^{\gamma z}$

Do terminal a podemos retirar ainda a relação:

$I_{L}=I^{+}e^{-\gamma z}+I^{-}e^{\gamma z}$

Considerando o terminal a como o ponto onde z = 0:

$Z_{L}={V^{+}+V^{-} \over I^{+}+I^{-}}$

como,

$Z_{o}={V^{+} \over I^{+}}={-V^{-} \over I^{-}}$

podemos escrever:

$Z_{L}={V^{+}+V^{-} \over {{V^{+} \over Z_{o}}-{V^{-} \over Z_{o}}}}$

fazendo algumas manipulações algébricas:

${V^{-} \over V^{+}}={Z_{L}-Z_{o} \over Z_{L}+Z_{o}}$

À relação ${V^{-} \over V^{+}}$ chamamos de coeficiente de reflexão e representamos pela letra grega Γ

Para diferenciar o coeficiente de reflexão na carga do obtido em outro ponto da linha iremos identificar esse por $\Gamma _{L}$

$\Gamma _{L}={Z_{L}-Z_{o} \over Z_{L}+Z_{o}}$

coeficiente de reflexão afastado da carga

O valor de Γ em qualquer ponto da linha será dado pela relação entre ${V^{+} \over V^{-}}$, sendo assim para um ponto afastado uma distância l da carga teremos:

$\Gamma ={V_{o}^{-}e^{\gamma l} \over V_{o}^{+}e^{-\gamma l}}$

$\Gamma =\Gamma _{L}e^{2\gamma l}$

Impedância de entrada

A relação entre a tensão e a corrente total em um determinado ponto da linha de transmissão é conhecida como Zin, impedância de entrada.

figura 3: Impedância de entrada - é a impedância vista em um ponto da linha.

Observe que não estamos nos referindo a Zo' (impedância característica) esta corresponde a relação' ${V^{+} \over I^{+}}$, enquanto que Zin é dada por:

$Z_{in(z)}={V_{o}^{+}e^{-\gamma z}+V_{o}^{-}e^{\gamma z} \over I_{o}^{+}e^{-\gamma z}+I_{o}^{-}e^{\gamma z}}$

substituindo $I_{o}^{+}$ e $I_{o}^{+}$ por:

$I_{o}^{+}={V_{o}^{+} \over Z_{o}}$

$I_{o}^{-}={-V_{o}^{-} \over Z_{o}}$

temos:

$Z_{in(z)}=Z_{o}{V_{o}^{+}e^{-\gamma z}+V_{o}^{-}e^{\gamma z} \over V_{o}^{+}e^{-\gamma z}-V_{o}^{-}e^{\gamma z}}$

agora substituindo $V_{o}^{-}=\Gamma V_{o}^{+}$:

$Z_{in(z)}=Z_{o}{V_{o}^{+}e^{-\gamma z}+\Gamma V_{o}^{+}e^{\gamma z} \over V_{o}^{+}e^{-\gamma z}-\Gamma V_{o}^{+}e^{\gamma z}}$

$Z_{in(z)}=Z_{o}{e^{-\gamma z}+\Gamma e^{\gamma z} \over e^{-\gamma z}-\Gamma e^{\gamma z}}$

$Z_{in(z)}=Z_{o}{e^{-\gamma z}+{(Z_{L}-Z_{o}) \over (Z_{L}+Z_{o})}e^{\gamma z} \over e^{-\gamma z}-{(Z_{L}-Z_{o}) \over (Z_{L}+Z_{o})}e^{\gamma z}}$

$Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}(e^{-\gamma z}+e^{\gamma z})+Z_{o}(e^{-\gamma z}-e^{\gamma z}) \over Z_{L}(e^{-\gamma z}-e^{\gamma z})+Z_{o}(e^{-\gamma z}+e^{\gamma z})}$

dividindo numerador e denominador por $e^{-\gamma z}+e^{\gamma z}$ e lembrando que:

$\tanh {e^{t}-e^{-t} \over e^{t}+e^{-t}}$

temos:

$Z_{in(z)}=Z_{o}{Z_{L}+Z_{o}tanh\gamma z \over Z_{o}+Z_{L}tanh\gamma z}$

Potência transmitida, refletida e de retorno

Ao conectar uma fonte em uma linha de transmissão, passa a se propagar pela linha uma onda de tensão e outra de corrente. Essas duas ondas transportam energia elétrica (figura 1).

Figura 1: linha percorrida por onda de tensão e corrente que transmitem potência elétrica.

Se a fonte de tensão for harmônica, cossenoidal por exemplo, podemos calcular a potência média ativa transmitida por:

$P_{s}(z)={1 \over 2}\Re \{V(z)^{+}.I(z)^{+*}\}$ (1)

$V(z)^{+}$ e $I(z)^{+}$ são dados por:

$V(z)^{+}=V_{o}^{+}e^{-\alpha z}e^{-\beta z}$ (2)

Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\teta'): {\displaystyle I(z)^+ = I_o^+ e^{-\alpha z} e^\teta e^{-\beta z} } (3)

O termo Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\teta'): {\displaystyle e^\teta} na equação (3) corresponde ao ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente na linha.

Substituindo (2) e (3) em (1) e lembrando que $Z_{o}={V(z)^{+} \over I(z)^{+}}$:

Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\teta'): {\displaystyle P_s(z) = {1 \over 2} \Re \{ V_o^+ e^{-\alpha z} e^{-\beta z} . I_o^+ e^{-\alpha z} e^{-\teta} e^{\beta z}\}}