Análise de Nodal

Análise de circuitos mais gerais acarreta na solução de um conjunto de equações. Análise nodal:

Tensões são as incógnitas a serem determinadas.
Deve-se escolher um nó do circuito como referência.
Associar aos outros nós uma tensão em relação ao nó de referência (tensão de nó).
Polaridade de um nó é escolhida de tal forma que as tensões dos nós sejam positivas em relação ao nó de referência.
Nó de referência é geralmente escolhido como o que possui o maior número de ramos conectados.
Nó de referência possui potencial zero (terra).
Aplica-se então a lei de Kirchhoff para corrente nos nós.
As correntes nos elementos são proporcionais às tensões sobre os mesmos.

Figura 1 - Tensões de Nó: $V_{1}$ e $V_{2}$ .

$V_{12}=V_{1}-V_{2}\,$

$V_{13}=V_{1}-0=V_{1}\,$

$V_{23}=V_{2}-0=V_{2}\,$

Figura 2 - Circuitos com dois Nós.

Lei de Kirchhoff de correntes

Nó 1: $i_{1}+i_{2}-i_{g1}=0\,$ ou em termos de tensões: ${\frac {V_{1}}{R_{1}}}+{\frac {(V_{1}-V_{2})}{R_{2}}}-i_{g1}=0$

Nó 2: $-i_{2}+i_{3}+i_{g2}=0\,$ ou em termos de tensões: ${\frac {(V_{2}-V_{1})}{R_{2}}}+{\frac {V_{2}}{R_{3}}}+i_{g2}=0$

Exercício de Fixação

Utilizando a análise nodal, determine as tensões sobre os resistores no circuito abaixo:

[a] Determine os nós do circuito.

[b] Aplique a lei de Kirchoff para os nós indicados.

[c] Equacionar o circuito lembrando que é a soma de corrente e não de tensões como acontece nas malhas.

[d] Solucione utilizando substituição, regra de CRAMER (matrizes) ou escalonamento.

Solução

Nó 1 (V₁)

-5+{\frac {V_{1}}{2}}+{\frac {V_{1}}{5}}+{\frac {V_{1}-V_{2}}{2}}=0\,

{\frac {V_{1}}{2}}+{\frac {V_{1}}{5}}+{\frac {V_{1}}{2}}-{\frac {V_{2}}{2}}=5\,

mmc

{\frac {5V_{1}+2V_{1}+5V_{1}-5V_{2}}{10}}=5\,

passa multiplicando o 10

12V_{1}-5V_{2}=5.10\,

12V_{1}-5V_{2}=50\,

Nó 2 (V₂)

-3+{\frac {V_{2}}{4}}+{\frac {V_{2}-V_{1}}{2}}=0\,

{\frac {V_{2}}{4}}+{\frac {V_{2}}{2}}-{\frac {V_{1}}{2}}=3\,

mmc

{\frac {V_{2}+2V_{2}-2V_{1}}{4}}=3\,

-2V_{1}+3V_{2}=3.4\,

-2V_{1}+3V_{2}=12\,

Resolvendo o sistema (Cramer)

$\Delta ={\begin{vmatrix}12&-5\\-2&3\end{vmatrix}}\,.\,{\begin{vmatrix}50\\12\end{vmatrix}}$

$\Delta ={\begin{vmatrix}12&-5\\-2&3\end{vmatrix}}\,=36-10\qquad \Delta =26$

$\Delta V_{1}={\begin{vmatrix}50&-5\\12&3\end{vmatrix}}\,=150-(-60)\qquad \Delta V_{1}=210$

$\Delta V_{2}={\begin{vmatrix}12&50\\-2&12\end{vmatrix}}\,=144-(-100)\qquad \Delta V_{2}=244$

$V_{1}={\frac {\Delta V_{1}}{\Delta }}={\frac {210}{26}}\qquad V_{1}=8,07V\,$

$V_{2}={\frac {\Delta V_{2}}{\Delta }}={\frac {244}{26}}\qquad V_{2}=9,38V\,$

Exercícios

[a] Usando análise nodal, determine as tensões sobre os resistores indicados:

Resultado
Resultado: V₁=4,8V; V₂=6,4V

[b] Usando análise nodal, determine as tensões sobre os resistores indicados:

Resultado
Resultado: V₁=-2,55V; V₂=4,03V;

[c] Usando análise nodal, determine as tensões sobre todos os nós:

Resultado
Resultado: V₁= 3,7V; V₂= 7,2V; V₃= 4,6V;

Parte II

Anteriormente, estudamos circuitos resistivos utilizando análise nodal. Agora vamos transformar as resistências em condutâncias e resolver esses mesmos circuitos da mesma forma de como se fossem resistências, retirando a questão das frações das equações.

Nota: Um circuito com três nós terá duas tensões incógnitas e duas equações; um circuito com dez nós terá nove tensões desconhecidas e nove equações; um circuito com N nós terá N-1 tensões incógnitas e N-1 equações.

Condutância

Vamos abrir um parênteses para falar sobre condutância. A ideia é que os circuitos fiquem em "termos" de multiplicação e não de divisão. A Figura 1 mostra um exemplo que permite escrever as equações de nós por inspeção direta em função da tensão dos nós.

Figura 1 - Exemplos de circuito resistivo x condutivo.

$V=V_{1}-V_{2}\,$

$i={\frac {V}{R}}={\frac {V_{1}-V_{2}}{R}}\,$ ou $i={\frac {V}{R}}=G(V_{1}-V_{2})\,$

Fórmula matemática da condutância

Para calcular a condutância de um determinado condutor, temos que saber o valor da sua resistência. Assim, e sabendo que a condutância é o inverso da resistência, chegamos à seguinte fórmula:

$G={\frac {1}{R}}\,$

Se tivermos por exemplo, um condutor em que a resistência seja igual a 10Ω, substituímos o R de resistência por 10Ω e obtemos o seguinte cálculo:

Então

$G={\frac {1}{R}}={\frac {1}{10}}=0,1S(siemens)\,$

Logo com este cálculo concluímos que um condutor com uma resistência de 10Ω, tem uma condutância de 0,1 siemens.

Exemplo 1

Tomemos esse exemplo para o qual faremos a mesma análise do dos exercícios anteriores. O exemplo que se segue é de um circuito com um único par de nós possuindo também fontes dependentes:

Figura 1 - Aplicação da lei dos nós a um circuito com fontes dependentes.

Como se pode verificar, a tensão $V_{1}$ aplicada sobre a condutância de 5 está também aplicada sobre todos os elementos do circuito. Considerando que a corrente sobre as condutâncias estão com a seta dirigida para o nó inferior e aplicamos a lei dos nós.

$5V_{1}-0,003+6V_{1}-20V_{1}+10V_{1}+0,013=0\,$

$1V_{1}=-0,003-0,013\,\to \,V_{1}=-0,01V$

Podemos agora determinar as correntes sobre as condutâncias assim como a potência fornecida ou consumida por cada um dos elementos.

Na condutância 5

$i_{5}=5V_{1}=-0,05A\,$

$P_{5}=5V_{1}^{2}=5(-0,01)^{2}=5.10^{-4}W$

Na condutância 6

$i_{6}=6V_{1}=-0,06A\,$

$P_{6}=6V_{1}^{2}=5(-0,01)^{2}=6.10^{-4}W$

Na condutância 10

$i_{10}=10V_{1}=-0,1A\,$

$P_{10}=10V_{1}^{2}=10(-0,01)^{2}=1.10^{-3}W$

Potência fornecida pela fonte de 3mA

$P_{f3ma}=0,003V_{1}=-0,3.10^{-4}W\,;\,P_{a}=0,3.10^{-4}W$

Potência fornecida pela fonte de 13mA

$P_{f13ma}=-0,013V_{1}=-1,3.10^{-4}W\,$

Potência fornecida pela fonte dependente

$P_{f20Vx}=20V_{1}.V_{1}=20V_{1}^{2}=20(-0,01)^{2}=20.10^{-4}W\,$

Por último, fazemos o balanço das potências

$\sum _{\,}^{\,}P_{f}=1,3.10^{-4}+20.10^{-4}=21,3.10^{-4}W$

$\sum _{\,}^{\,}P_{a}=5.10^{-4}+6.10^{-4}+0,3.10^{-4}=21,3.10^{-4}W$

Exemplo 2

Utilizando análise nodal encontre as tensões nos nós do circuito e encontre as correntes em todos os resistores.

Resolvendo o Circuito

Definindo os nós do circuito ( $V_{1}\,e\,V_{2}$ ).

Percebe-se que a condutância de 2 está curtocircuitada, portanto, não será considerada no sistema.

Outra definição importante é que devemos atribuir o sinal da corrente que chega e que sai do nó. Podendo ser negativas as correntes que chegam no nó e positivas as correntes que saem do nó. Lembrando, não há nenhum problema em arbitrar essas corrente de forma contrária, tendo como resultados os valores com troca de sinal.