CEL18702 2017 1 AULA04

Análise de Malhas

A Análise de Malhas é uma técnica utilizada em análise de circuitos baseada na simplificação do circuito do ponto de vista da "soma" de tensões. O método de análise das malhas só é aplicado às redes planares, isto é, somente se for possível desenhar o diagrama de um circuito numa superfície plana, sem que haja cruzamento dos ramos, então o circuito é dito planar. Na Figura 1 temos um exemplo de rede planar e não planar.

Figura 1 - Rede planar (a) e Rede não planar (b).

Um circuito é uma rede que contém pelo menos um caminho fechado por onde possa fluir corrente. O nome oficial para esse caminho é laço. Assim, se iniciarmos por um determinado nó e traçarmos pela rede uma linha fechada contínua, passando uma vez em cada nó e terminando no nó de partida, este caminho é um laço. A malha é uma propriedade de circuitos planares e é definida como sendo um laço que não contém nenhum outro por dentro.

A técnica de análise de malhas envolve o conceito de corrente de malha que definiremos como sendo a corrente que flui apenas no perímetro de uma malha. Vamos utilizar o exemplo da Figura 2 para melhor entendimento do método.

Figura 2 - Exemplo de aplicação do método de malhas.

Solução

1. Arbitramos as correntes de malhas dando a designação de $i_{1}\,$ para a malha 1, $i_{2}\,$ para a malha 2 e assim por diante;
2. O sentido arbitrado para as correntes de malha pode ser qualquer um, mas para facilitar a obtenção das equações adotamos sempre o sentido horário;
3. Escreve-se as equações de malha em termos das tensões utilizando a lei de Ohm $V=RI\,$
4. Simplifica-se as equações e resolve-se o sistema obtido.

Malha 1

$-6+2(i_{1}-i_{2})+1(i_{1}-i_{3})=0\quad \to \quad -6+2i_{1}-2i_{2}+1i_{1}-2i_{3}=0$

Malha 2

$4i_{2}+3(i_{2}-i_{3})+2(i_{2}-i_{1})=0\quad \to \quad 4i_{2}+3i_{2}-3i_{3}+2i_{2}-2i_{1}=0$

Malha 3

$-12+2i_{3}+1(i_{3}-i_{1})+3(i_{3}-i_{2})=0\quad \to \quad -12+2i_{3}+1i_{3}-1i_{1}+3i_{3}-3i_{2}=0$

Arrumando...

$3i_{1}-2i_{2}-i_{3}=6\,$

$-2i_{1}+9i_{2}-3i_{3}=0\,$

$-i_{1}-3i_{2}+6i_{3}=12\,$

$\Delta ={\begin{vmatrix}3&-2&-1\\-2&9&-3\\-1&-3&6\end{vmatrix}}\,.\,{\begin{vmatrix}6\\0\\12\end{vmatrix}}$

$det\Delta ={\begin{vmatrix}3&-2&-1\\-2&9&-3\\-1&-3&6\end{vmatrix}}\,=\,90$

$det\Delta \,i_{1}={\begin{vmatrix}6&-2&-1\\0&9&-3\\12&-3&6\end{vmatrix}}\,=450$

$det\Delta \,i_{2}={\begin{vmatrix}3&6&-1\\-2&0&-3\\-1&12&6\end{vmatrix}}\,=222$

$det\Delta \,i_{3}={\begin{vmatrix}3&-2&6\\-2&9&0\\-1&-3&12\end{vmatrix}}\,=366$

$i_{1}={\frac {\Delta \,i_{1}}{\Delta }}\,\qquad i_{1}={\frac {450}{90}}=5A$

$i_{2}={\frac {\Delta \,i_{2}}{\Delta }}\,\qquad i_{2}={\frac {222}{90}}=2,47A$

$i_{3}={\frac {\Delta \,i_{3}}{\Delta }}\,\qquad i_{3}={\frac {366}{90}}=4,07A$

Exercício de Fixação

Determine o valor de todas as correntes no circuito e a queda de tensão nos resistores:

Solução

Malha 1 $-26+1ki_{1}+2k(i_{1}-i_{2})+13k(i_{1}-i_{3})=0\,\to \,-26+1ki_{1}+2ki_{1}-2ki_{2}+13ki_{2}-13ki_{3}=0\,\to \,16ki_{1}-2ki_{2}-13ki_{3}=26$ Malha 2 $4ki_{2}+5k(i_{2}-i_{3})+2k(i_{2}-i_{1})=0\,\to \,4ki_{2}+5ki_{2}-5ki_{3}+2ki_{2}-2ki_{1}=0\,\to \,-2ki_{1}+11ki_{2}-5ki_{3}=0$ Malha 3 $5k(i_{3}-i_{2})+0.5ki_{3}+13k(i_{3}-i_{1})=0\,\to \,5ki_{3}-5ki_{2}+0.5ki_{3}+13ki_{3}-13ki_{1}=0\,\to \,-13ki_{1}-5ki_{2}+18.5ki_{3}=0$ Organizando $16000i_{1}-2000i_{2}-13000i_{3}=26\,$ $-2000i_{1}+11000i_{2}-5000i_{3}=0\,$ $-13000i_{1}-5000i_{2}+18500i_{3}=0\,$ Resolvendo por Cramer $\Delta ={\begin{vmatrix}16000&-2000&-13000\\-2000&11000&-5000\\-13000&-5000&18500\end{vmatrix}}\,.\,{\begin{vmatrix}26\\0\\0\end{vmatrix}}$ Resultado confirmado (matlab/calc) $\Delta =663000000000\,$ $\Delta i_{1}=4641000000\,$ $\Delta i_{2}=2652000000\,$ $\Delta i_{3}=3978000000\,$ $i_{1}=0,007A\,$ $i_{2}=0,004A\,$ $i_{3}=0,006A\,$ $V_{1k}=7V\,$ $V_{2k}=6V\,$ $V_{4k}=16V\,$ $V_{5k}=-10V\,$ $V_{13k}=13V\,$ $V_{500}=3V\,$

Exercícios AT1

[1] Determine a potência fornecida ou absorvida pelos elemento do circuito abaixo. (Kirchhoff)

[2] Encontre as correntes para o circuito abaixo e a tensão sobre o resistor de 1 $\Omega$. (Malhas)

Solução

Sabe-se $i_{3}=6A\,$ malha 1 $-6+2(i_{1}-i_{2})+1(i_{1}-i_{3})=0\,$ $-6+2i_{1}-2i_{2}+1_{1}-6=0\,$ $3i_{1}-2i_{2}=12\,$ malha 2 $4i_{2}+3(i_{2}-i_{3})+2(i_{2}-i_{1})=0\,$ $4i_{2}+3i_{2}-18+2i_{2}-2i_{1}=0\,$ $-2i_{1}+9_{i}2=18\,$ Resolvendo o sistema (Cramer) $\Delta ={\begin{vmatrix}3&-2\\-2&9\end{vmatrix}}\,.\,{\begin{vmatrix}12\\18\end{vmatrix}}$ $\Delta ={\begin{vmatrix}3&-2\\-2&9\end{vmatrix}}\,=27-(4)\qquad \Delta =23$ $\Delta i_{1}={\begin{vmatrix}12&-2\\18&9\end{vmatrix}}\,=108-(-36)\qquad \Delta i_{1}=144$ $\Delta i_{2}={\begin{vmatrix}3&12\\-2&18\end{vmatrix}}\,=54-(-24)\qquad \Delta i_{2}=78$ $i_{1}={\frac {\Delta i_{1}}{\Delta }}={\frac {144}{23}}\qquad i_{1}=6,26A\,$ $i_{2}={\frac {\Delta i_{2}}{\Delta }}={\frac {78}{23}}\qquad i_{2}=3,39A\,$

[3] Encontre a corrente $i_{a}$ para o circuito abaixo. (Malhas)

[4] Encontre as correntes para o circuito abaixo. (Malhas)

Referências

[1] http://www3.fsa.br/localuser/Eletronica/mario.garcia/Circuitos%20el%C3%A9tricos%20I/Determinantes.PDF

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