CEL18702 2016 2 AULA06

Análise de Nodal

Análise de circuitos mais gerais acarreta na solução de um conjunto de equações. Análise nodal:

• Tensões são as incógnitas a serem determinadas.
• Deve-se escolher um nó do circuito como referência.
• Associar aos outros nós uma tensão em relação ao nó de referência (tensão de nó).
• Polaridade de um nó é escolhida de tal forma que as tensões dos nós sejam positivas em relação ao nó de referência.
• Nó de referência é geralmente escolhido como o que possui o maior número de ramos conectados.
• Nó de referência possui potencial zero (terra).
• Aplica-se então a lei de Kirchhoff para corrente nos nós.
• As correntes nos elementos são proporcionais às tensões sobre os mesmos.

Figura 1 - Tensões de Nó: $V_{1}$ e $V_{2}$.

$V_{12}=V_{1}-V_{2}\,$

$V_{13}=V_{1}-0=V_{1}\,$

$V_{23}=V_{2}-0=V_{2}\,$

Figura 2 - Circuitos com dois Nós.

Lei de Kirchhoff de correntes

Nó 1: $i_{1}+i_{2}-i_{g1}=0\,$ ou em termos de tensões: ${\frac {V_{1}}{R_{1}}}+{\frac {(V_{1}-V_{2})}{R_{2}}}-i_{g1}=0$

Nó 2: $-i_{2}+i_{3}+i_{g2}=0\,$ ou em termos de tensões: ${\frac {(V_{2}-V_{1})}{R_{2}}}+{\frac {V_{2}}{R_{3}}}+i_{g2}=0$

Exercício de Fixação

Utilizando a análise nodal, determine as tensões sobre os resistores no circuito abaixo:

[a] Determine os nós do circuito.

[b] Aplique a lei de Kirchoff para os nós indicados.

[c] Equacionar o circuito lembrando que é a soma de corrente e não de tensões como acontece nas malhas.

[d] Solucione utilizando substituição, regra de CRAMER (matrizes) ou escalonamento.

Solução

Nó 1 (V1) $-5+{\frac {V_{1}}{2}}+{\frac {V_{1}}{5}}+{\frac {V_{1}-V_{2}}{2}}=0\,$ ${\frac {V_{1}}{2}}+{\frac {V_{1}}{5}}+{\frac {V_{1}}{2}}-{\frac {V_{2}}{2}}=5\,$ mmc ${\frac {5V_{1}+2V_{1}+5V_{1}-5V_{2}}{10}}=5\,$ passa multiplicando o 10 $12V_{1}-5V_{2}=5.10\,$ $12V_{1}-5V_{2}=50\,$ Nó 2 (V2) $-3+{\frac {V_{2}}{4}}+{\frac {V_{2}-V_{1}}{2}}=0\,$ ${\frac {V_{2}}{4}}+{\frac {V_{2}}{2}}-{\frac {V_{1}}{2}}=3\,$ mmc ${\frac {V_{2}+2V_{2}-2V_{1}}{4}}=3\,$ $-2V_{1}+3V_{2}=3.4\,$ $-2V_{1}+3V_{2}=12\,$ Resolvendo o sistema (Cramer) $\Delta ={\begin{vmatrix}12&-5\\-2&3\end{vmatrix}}\,.\,{\begin{vmatrix}50\\12\end{vmatrix}}$ $\Delta ={\begin{vmatrix}12&-5\\-2&3\end{vmatrix}}\,=36-10\qquad \Delta =26$ $\Delta V_{1}={\begin{vmatrix}50&-5\\12&3\end{vmatrix}}\,=150-(-60)\qquad \Delta V_{1}=210$ $\Delta V_{2}={\begin{vmatrix}12&50\\-2&12\end{vmatrix}}\,=144-(-100)\qquad \Delta V_{2}=244$ $V_{1}={\frac {\Delta V_{1}}{\Delta }}={\frac {210}{26}}\qquad V_{1}=8,07V\,$ $V_{2}={\frac {\Delta V_{2}}{\Delta }}={\frac {244}{26}}\qquad V_{2}=9,38V\,$

Exercícios

[a] Usando análise nodal, determine as tensões sobre os resistores indicados:

[b] Usando análise nodal, determine as tensões sobre os resistores indicados:

Referências

[1] http://www.feng.pucrs.br/~fdosreis/ftp/elobasicem/Aulas%202006%20II/AnaliseNodal.pdf

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