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(23 revisões intermediárias pelo mesmo usuário não estão sendo mostradas) |
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| [[Imagem:fig95_CEL18702.png|center|400px]] | | [[Imagem:fig95_CEL18702.png|center|400px]] |
| + | |
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| {{collapse top|Solução}} | | {{collapse top|Solução}} |
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− | ;Nó 1 (V<sub>1</sub> | + | ;Nó 1 (V<sub>1</sub>) |
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− | <math>-5+\frac{V_1}{2}+\frac{V_1}{5}+\frac{V_1-V_2}{2}=0\,</math> | + | :<math>-5+\frac{V_1}{2}+\frac{V_1}{5}+\frac{V_1-V_2}{2}=0\,</math> |
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− | {{collapse bottom}} | + | :<math>\frac{V_1}{2}+\frac{V_1}{5}+\frac{V_1}{2}-\frac{V_2}{2}=5\,</math> |
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− | ==Condutância==
| + | ;mmc |
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− | Vamos abrir um parênteses para falar sobre condutância. A ideia é que os circuitos fiquem em "termos" de multiplicação e não de divisão. A Figura 3 mostra um exemplo que permite escrever as equações de nós por inspeção direta em função da tensão dos nós.
| + | :<math>\frac{5V_1+2V_1+5V_1-5V_2}{10}=5\,</math> |
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| + | ;passa multiplicando o 10 |
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− | [[Imagem:fig57_CEL18702.png|center|300px]]
| + | :<math>12V_1-5V_2=5.10\,</math> |
− | <center> | |
− | Figura 3 - Exemplos de circuito resistivo x condutivo.
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− | </center> | |
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− | <math>V=V_1-V_2\,</math> | + | :<math>12V_1-5V_2=50\,</math> |
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− | <math>i=\frac{V}{R} =\frac{V_1-V_2}{R}\,</math> ou <math>i=\frac{V}{R}=G(V_1-V_2)\,</math> | + | ;Nó 2 (V<sub>2</sub>) |
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− | ;Fórmula matemática da condutância:
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− | Para calcular a condutância de um determinado condutor, temos que saber o valor da sua resistência. Assim, e sabendo que a condutância é o inverso da resistência, chegamos à seguinte fórmula:
| + | :<math>-3+\frac{V_2}{4}+\frac{V_2-V_1}{2}=0\,</math> |
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− | <math>G=\frac{1}{R}\,</math> | + | :<math>\frac{V_2}{4}+\frac{V_2}{2}-\frac{V_1}{2}=3\,</math> |
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− | Se tivermos por exemplo, um condutor em que a resistência seja igual a 10Ω, substituímos o R de resistência por 10Ω e obtemos o seguinte cálculo:
| + | ;mmc |
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− | ;Então:
| + | :<math>\frac{V_2+2V_2-2V_1}{4}=3\,</math> |
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− | <math>G=\frac{1}{R}=\frac{1}{10}=0,1 S (siemens) \,</math> | + | :<math>-2V_1+3V_2=3.4\,</math> |
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| + | :<math>-2V_1+3V_2=12\,</math> |
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− | Logo com este cálculo concluímos que um condutor com uma resistência de 10Ω, tem uma condutância de 0,1 siemens.
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− | ==Análise com dois nós==
| + | ;Resolvendo o sistema (Cramer): |
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− | Tomemos um novo exemplo para o qual faremos a mesma análise do exemplo anterior. O
| + | <math> |
− | exemplo que se segue é de um circuito com um único par de nós possuindo também fontes
| + | \Delta=\begin{vmatrix} 12 & -5 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}\,.\,\begin{vmatrix} 50 \\ 12 \end{vmatrix} |
− | dependentes:
| + | </math> |
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− | [[Imagem:fig31_CEL18702.png|center|450px]]
| + | <math> |
− | <center> | + | \Delta=\begin{vmatrix} 12 & -5 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}\,=36-10\qquad \Delta=26 |
− | Figura 1 - Aplicação da lei dos nós a um circuito com fontes dependentes.
| + | </math> |
− | </center> | |
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| + | <math> |
| + | \Delta V_1=\begin{vmatrix} 50 & -5 \\ 12 & 3 \end{vmatrix}\,=150-(-60)\qquad \Delta V_1=210 |
| + | </math> |
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− | Como se pode verificar, a tensão <math>V_1</math> aplicada sobre a condutância de 5 está também aplicada
| + | <math> |
− | sobre todos os elementos do circuito. Considerando que a corrente sobre as condutâncias estão com a
| + | \Delta V_2=\begin{vmatrix} 12 & 50 \\ -2 & 12 \end{vmatrix}\,=144-(-100)\qquad \Delta V_2=244 |
− | seta dirigida para o nó inferior e aplicamos a lei dos nós.
| + | </math> |
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− | <math>5V_1-0,003+6V_1-20V_1+10V_1+0,013=0\,</math>
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− | <math>1V_1=-0,003-0,013\, \to \, V_1=-0,01V</math> | + | <math>V_1=\frac{\Delta V_1}{\Delta}=\frac{210}{26} \qquad V_1=8,07V\,</math> |
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− | Podemos agora determinar as correntes sobre as condutâncias assim como a potência fornecida
| + | <math>V_2=\frac{\Delta V_2}{\Delta}=\frac{244}{26} \qquad V_2=9,38V\,</math> |
− | ou consumida por cada um dos elementos.
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− | ;Na condutância 5
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− | <math>i_5 = 5V_1=-0,05A\,</math>
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− | <math>P_5 = 5V_1^2=5(-0,01)^2=5.10^{-4}W</math>
| + | {{collapse bottom}} |
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| + | =Exercícios= |
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− | ;Na condutância 6
| + | [a] Usando análise nodal, determine as tensões sobre os resistores indicados: |
− | | |
− | <math>i_6 = 6V_1=-0,06A\,</math>
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− | | |
− | <math>P_6 = 6V_1^2=5(-0,01)^2=6.10^{-4}W</math>
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− | | |
− | | |
− | ;Na condutância 10
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− | | |
− | <math>i_{10} = 10V_1=-0,1A\,</math>
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− | | |
− | <math>P_{10} = 10V_1^2=10(-0,01)^2=1.10^{-3}W</math>
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− | | |
− | | |
− | ;Potência fornecida pela fonte de 3mA:
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− | | |
− | <math>P_{f3ma} = 0,003V_1 =-0,3.10^{-4}W \, ; \,P_a=0,3.10^{-4}W</math>
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− | | |
− | | |
− | ;Potência fornecida pela fonte de 13mA:
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− | | |
− | <math>P_{f13ma} = -0,013V_1 =-1,3.10^{-4}W\,</math>
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| + | [[Imagem:fig96_CEL18702.png|center|400px]] |
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− | ;Potência fornecida pela fonte dependente:
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− | <math>P_{f20Vx} = 20V_1.V_1 = 20V_1^2=20(-0,01)^2=20.10^{-4}W\,</math>
| + | {{collapse top|Resultado}} |
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− | ;Por último, fazemos o balanço das potências:
| + | Resultado: V<sub>1</sub>=4,8V; V<sub>2</sub>=6,4V |
− | | |
− | <math> | |
− | \sum_{\,}^{\,} P_f = 1,3.10^{-4}+20.10^{-4}=21,3.10^{-4}W
| |
− | </math> | |
− | | |
− | <math>
| |
− | \sum_{\,}^{\,} P_a = 5.10^{-4}+6.10^{-4}+0,3.10^{-4}=21,3.10^{-4}W
| |
− | </math> | |
− | | |
− | =Exercícios= | |
− | | |
− | [1] ...
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− | | |
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− | {{collapse top|Solução}}
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− | ...
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| {{collapse bottom}} | | {{collapse bottom}} |
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− | [2] ... | + | [b] Usando análise nodal, determine as tensões sobre os resistores indicados: |
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| + | [[Imagem:fig97_CEL18702.png|center|450px]] |
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− | {{collapse top|Solução}} | + | {{collapse top|Resultado}} |
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− | ...
| + | Resultado: V<sub>1</sub>=-2,55V; V<sub>2</sub>=4,03V; |
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| {{collapse bottom}} | | {{collapse bottom}} |
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| =Referências= | | =Referências= |
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− | [1] http://www.feng.pucrs.br/~virgilio/Circuitos_Eletricos_I/Capitulo3_ckt1.pdf | + | [1] http://www.feng.pucrs.br/~fdosreis/ftp/elobasicem/Aulas%202006%20II/AnaliseNodal.pdf |
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| {| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" | | {| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" |
| ! style="background:#00BFFF;" | [[CEL18702_2016_2_AULA05 | << ]] | | ! style="background:#00BFFF;" | [[CEL18702_2016_2_AULA05 | << ]] |
− | ! style="background:#778899;" | [[CEL18702_2016_2 | <> ]] | + | ! style="background:#778899;" | [[CEL18702_2016_2#Aulas | <> ]] |
| ! style="background:#00BFFF;" | [[CEL18702_2016_2_AULA07 | >> ]] | | ! style="background:#00BFFF;" | [[CEL18702_2016_2_AULA07 | >> ]] |
| |} | | |} |
Análise de Nodal
Análise de circuitos mais gerais acarreta na solução de um conjunto de
equações.
Análise nodal:
- Tensões são as incógnitas a serem determinadas.
- Deve-se escolher um nó do circuito como referência.
- Associar aos outros nós uma tensão em relação ao nó de referência (tensão de nó).
- Polaridade de um nó é escolhida de tal forma que as tensões dos nós sejam positivas em relação ao nó de referência.
- Nó de referência é geralmente escolhido como o que possui o maior número de ramos conectados.
- Nó de referência possui potencial zero (terra).
- Aplica-se então a lei de Kirchhoff para corrente nos nós.
- As correntes nos elementos são proporcionais às tensões sobre os mesmos.
Figura 1 - Tensões de Nó: e .
Figura 2 - Circuitos com dois Nós.
- Lei de Kirchhoff de correntes
Nó 1: ou em termos de tensões:
Nó 2: ou em termos de tensões:
Exercício de Fixação
Utilizando a análise nodal, determine as tensões sobre os resistores no circuito abaixo:
[a] Determine os nós do circuito.
[b] Aplique a lei de Kirchoff para os nós indicados.
[c] Equacionar o circuito lembrando que é a soma de corrente e não de tensões como acontece nas malhas.
[d] Solucione utilizando substituição, regra de CRAMER (matrizes) ou escalonamento.
Solução
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- Nó 1 (V1)
- mmc
- passa multiplicando o 10
- Nó 2 (V2)
- mmc
- Resolvendo o sistema (Cramer)
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Exercícios
[a] Usando análise nodal, determine as tensões sobre os resistores indicados:
Resultado
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Resultado: V1=4,8V; V2=6,4V
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[b] Usando análise nodal, determine as tensões sobre os resistores indicados:
Resultado
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Resultado: V1=-2,55V; V2=4,03V;
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Referências
[1] http://www.feng.pucrs.br/~fdosreis/ftp/elobasicem/Aulas%202006%20II/AnaliseNodal.pdf