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Linha 100: |
Linha 100: |
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| <math> | | <math> |
− | \Delta=\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 9 \end{vmatrix}\,=27-(4)\qquad \Delta=23 | + | \Delta=\begin{vmatrix} 12 & -5 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}\,=36-10\qquad \Delta=26 |
| </math> | | </math> |
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| <math> | | <math> |
− | \Delta i_1=\begin{vmatrix} 12 & -2 \\ 18 & 9 \end{vmatrix}\,=108-(-36)\qquad \Delta i_1=144 | + | \Delta V_1=\begin{vmatrix} 50 & -5 \\ 12 & 3 \end{vmatrix}\,=150-(-60)\qquad \Delta V_1=210 |
| </math> | | </math> |
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| <math> | | <math> |
− | \Delta i_2=\begin{vmatrix} 3 & 12 \\ -2 & 18 \end{vmatrix}\,=54-(-24)\qquad \Delta i_2=78 | + | \Delta V_2=\begin{vmatrix} 12 & 50 \\ -2 & 12 \end{vmatrix}\,=144-(-100)\qquad \Delta V_2=244 |
| </math> | | </math> |
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− | <math>i_1=\frac{\Delta i_1}{\Delta}=\frac{144}{23} \qquad i_1=6,26A\,</math> | + | <math>V_1=\frac{\Delta V_1}{\Delta}=\frac{210}{26} \qquad V_1=8,07A\,</math> |
| | | |
− | <math>i_2=\frac{\Delta i_2}{\Delta}=\frac{78}{23} \qquad i_2=3,39A\,</math> | + | <math>V_2=\frac{\Delta V_2}{\Delta}=\frac{244}{26} \qquad V_2=9,38A\,</math> |
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Análise de Nodal
Análise de circuitos mais gerais acarreta na solução de um conjunto de
equações.
Análise nodal:
- Tensões são as incógnitas a serem determinadas.
- Deve-se escolher um nó do circuito como referência.
- Associar aos outros nós uma tensão em relação ao nó de referência (tensão de nó).
- Polaridade de um nó é escolhida de tal forma que as tensões dos nós sejam positivas em relação ao nó de referência.
- Nó de referência é geralmente escolhido como o que possui o maior número de ramos conectados.
- Nó de referência possui potencial zero (terra).
- Aplica-se então a lei de Kirchhoff para corrente nos nós.
- As correntes nos elementos são proporcionais às tensões sobre os mesmos.
Figura 1 - Tensões de Nó: e .
Figura 2 - Circuitos com dois Nós.
- Lei de Kirchhoff de correntes
Nó 1: ou em termos de tensões:
Nó 2: ou em termos de tensões:
Exercício de Fixação
Utilizando a análise nodal, determine as tensões sobre os resistores no circuito abaixo:
[a] Determine os nós do circuito.
[b] Aplique a lei de Kirchoff para os nós indicados.
[c] Equacionar o circuito lembrando que é a soma de corrente e não de tensões como acontece nas malhas.
[d] Solucione utilizando substituição, regra de CRAMER (matrizes) ou escalonamento.
Solução
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- Nó 1 (V1)
- mmc
- passa multiplicando o 10
- Nó 2 (V2)
- mmc
- Resolvendo o sistema (Cramer)
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Condutância
Vamos abrir um parênteses para falar sobre condutância. A ideia é que os circuitos fiquem em "termos" de multiplicação e não de divisão. A Figura 3 mostra um exemplo que permite escrever as equações de nós por inspeção direta em função da tensão dos nós.
Figura 3 - Exemplos de circuito resistivo x condutivo.
ou
- Fórmula matemática da condutância
Para calcular a condutância de um determinado condutor, temos que saber o valor da sua resistência. Assim, e sabendo que a condutância é o inverso da resistência, chegamos à seguinte fórmula:
Se tivermos por exemplo, um condutor em que a resistência seja igual a 10Ω, substituímos o R de resistência por 10Ω e obtemos o seguinte cálculo:
- Então
Logo com este cálculo concluímos que um condutor com uma resistência de 10Ω, tem uma condutância de 0,1 siemens.
Análise com dois nós
Tomemos um novo exemplo para o qual faremos a mesma análise do exemplo anterior. O
exemplo que se segue é de um circuito com um único par de nós possuindo também fontes
dependentes:
Figura 1 - Aplicação da lei dos nós a um circuito com fontes dependentes.
Como se pode verificar, a tensão aplicada sobre a condutância de 5 está também aplicada
sobre todos os elementos do circuito. Considerando que a corrente sobre as condutâncias estão com a
seta dirigida para o nó inferior e aplicamos a lei dos nós.
Podemos agora determinar as correntes sobre as condutâncias assim como a potência fornecida
ou consumida por cada um dos elementos.
- Na condutância 5
- Na condutância 6
- Na condutância 10
- Potência fornecida pela fonte de 3mA
- Potência fornecida pela fonte de 13mA
- Potência fornecida pela fonte dependente
- Por último, fazemos o balanço das potências
Exercícios
[1] ...
[2] ...
Referências
[1] http://www.feng.pucrs.br/~virgilio/Circuitos_Eletricos_I/Capitulo3_ckt1.pdf