CEL18702 2016 1 AULA05

Análise de Nodal

Análise de circuitos mais gerais acarreta na solução de um conjunto de equações. Análise nodal:

• Tensões são as incógnitas a serem determinadas.
• Deve-se escolher um nó do circuito como referência.
• Associar aos outros nós uma tensão em relação ao nó de referência (tensão de nó).
• Polaridade de um nó é escolhida de tal forma que as tensões dos nós sejam positivas em relação ao nó de referência.
• Nó de referência é geralmente escolhido como o que possui o maior número de ramos conectados.
• Nó de referência possui potencial zero (terra).
• Aplica-se então a lei de Kirchhoff para corrente nos nós.
• As correntes nos elementos são proporcionais às tensões sobre os mesmos.

Figura 1 - Tensões de Nó: $V_{1}$ e $V_{2}$.

$V_{12}=V_{1}-V_{2}\,$

$V_{13}=V_{1}-0=V_{1}\,$

$V_{23}=V_{2}-0=V_{2}\,$

Figura 2 - Circuitos com dois Nós.

Lei de Kirchhoff de correntes

Nó 1: $i_{1}+i_{2}-i_{g1}=0\,$ ou em termos de tensões: ${\frac {V_{1}}{R_{1}}}+{\frac {(V_{1}-V_{2})}{R_{2}}}-i_{g1}=0$

Nó 2: $-i_{2}+i_{3}+i_{g2}=0\,$ ou em termos de tensões: ${\frac {(V_{2}-V_{1})}{R_{2}}}+{\frac {V_{2}}{R_{3}}}+i_{g2}=0$

Condutância

Vamos abrir um parênteses para falar sobre condutância. A ideia é que os circuitos fiquem em "termos" de multiplicação e não de divisão. A Figura 3 mostra um exemplo que permite escrever as equações de nós por inspeção direta em função da tensão dos nós.

Figura 3 - Exemplos de circuito resistivo x condutivo.

$V=V_{1}-V_{2}\,$

$i={\frac {V}{R}}={\frac {V_{1}-V_{2}}{R}}\,$ ou $i={\frac {V}{R}}=G(V_{1}-V_{2})\,$

Fórmula matemática da condutância

Para calcular a condutância de um determinado condutor, temos que saber o valor da sua resistência. Assim, e sabendo que a condutância é o inverso da resistência, chegamos à seguinte fórmula:

$G={\frac {1}{R}}\,$

Se tivermos por exemplo, um condutor em que a resistência seja igual a 10Ω, substituímos o R de resistência por 10Ω e obtemos o seguinte cálculo:

Então

$G={\frac {1}{R}}={\frac {1}{10}}=0,1S(siemens)\,$

Logo com este cálculo concluímos que um condutor com uma resistência de 10Ω, tem uma condutância de 0,1 siemens.

Análise com dois nós

Tomemos um novo exemplo para o qual faremos a mesma análise do exemplo anterior. O exemplo que se segue é de um circuito com um único par de nós possuindo também fontes dependentes:

Figura 1 - Aplicação da lei dos nós a um circuito com fontes dependentes.

Como se pode verificar, a tensão $V_{1}$ aplicada sobre a condutância de 5 está também aplicada sobre todos os elementos do circuito. Considerando que a corrente sobre as condutâncias estão com a seta dirigida para o nó inferior e aplicamos a lei dos nós.

$5V_{1}-0,003+6V_{1}-20V_{1}+10V_{1}+0,013=0\,$

$1V_{1}=-0,003-0,013\,\to \,V_{1}=-0,01V$

Podemos agora determinar as correntes sobre as condutâncias assim como a potência fornecida ou consumida por cada um dos elementos.

Na condutância 5

$i_{5}=5V_{1}=-0,05A\,$

$P_{5}=5V_{1}^{2}=5(-0,01)^{2}=5.10^{-4}W$

Na condutância 6

$i_{6}=6V_{1}=-0,06A\,$

$P_{6}=6V_{1}^{2}=5(-0,01)^{2}=6.10^{-4}W$

Na condutância 10

$i_{10}=10V_{1}=-0,1A\,$

$P_{10}=10V_{1}^{2}=10(-0,01)^{2}=1.10^{-3}W$

Potência fornecida pela fonte de 3mA

$P_{f3ma}=0,003V_{1}=-0,3.10^{-4}W\,;\,P_{a}=0,3.10^{-4}W$

Potência fornecida pela fonte de 13mA

$P_{f13ma}=-0,013V_{1}=-1,3.10^{-4}W\,$

Potência fornecida pela fonte dependente

$P_{f20Vx}=20V_{1}.V_{1}=20V_{1}^{2}=20(-0,01)^{2}=20.10^{-4}W\,$

Por último, fazemos o balanço das potências

$\sum _{\,}^{\,}P_{f}=1,3.10^{-4}+20.10^{-4}=21,3.10^{-4}W$

$\sum _{\,}^{\,}P_{a}=5.10^{-4}+6.10^{-4}+0,3.10^{-4}=21,3.10^{-4}W$

Exercício de fixação

[1] Fonte independente de corrente na malha. Determinas as correntes do circuito abaixo, a tensão e as potências dissipadas em todos os elementos do circuito.

Solução

malha 1 $-6+2(i_{1}-i_{2})+1(i_{1}-i_{3})=0\quad \to \quad -6+2i_{1}-2i_{2}+1_{1}-6=0\quad \to \quad 3i_{1}-2i_{2}=12$ malha 2 $4i_{2}+3(i_{2}-i_{3})+2(i_{2}-i_{1})=0\quad \to \quad 4i_{2}+3i_{2}-18+2i_{2}-2i_{1}=0\quad \to \quad -2i_{1}+9_{i}2=18$ Resolvendo o sistema (Cramer) $\Delta ={\begin{vmatrix}3&-2\\-2&9\end{vmatrix}}\,.\,{\begin{vmatrix}12\\18\end{vmatrix}}$ $\Delta ={\begin{vmatrix}3&-2\\-2&9\end{vmatrix}}\,=27-(4)\qquad \Delta =23$ $\Delta i_{1}={\begin{vmatrix}12&-2\\18&9\end{vmatrix}}\,=108-(-36)\qquad \Delta i_{1}=144$ $\Delta i_{2}={\begin{vmatrix}3&12\\-2&18\end{vmatrix}}\,=54-(-24)\qquad \Delta i_{2}=78$ $i_{1}={\frac {\Delta i_{1}}{\Delta }}={\frac {144}{23}}\qquad i_{1}=6,26A\,$ $i_{2}={\frac {\Delta i_{2}}{\Delta }}={\frac {78}{23}}\qquad i_{2}=3,39A\,$

[2] Fonte dependente de corrente na malha. Determinas as correntes do circuito abaixo, a tensão e as potências dissipadas em todos os elementos do circuito.

Solução

malha 1 $-6+2(i_{1}-i_{2})+1(i_{1}-i_{3})=0\quad \to \quad -6+2i_{1}-2i_{2}+i_{1}-i_{3}=0\quad \to \quad 3i_{1}-2i_{2}-i_{3}=6$ malha 2 $4i_{2}+3(i_{2}-i_{3})+2(i_{2}-i_{1})=0\quad \to \quad 4i_{2}+3i_{2}-3i_{3}+2i_{2}-2i_{1}=0\quad \to \quad -2i_{1}+9i_{2}-3i_{3}=0$ malha 3 $i_{3}={\frac {i_{a}}{3}}$ Se $i_{1}=i_{a}\quad logo\quad i_{3}={\frac {i_{1}}{3}}$ Resolvendo o sistema $3i_{1}-2i_{2}-i_{3}=6\quad \to \quad 3i_{1}-2i_{2}-{\frac {i_{1}}{3}}=6\quad \to \quad {\frac {8i_{1}}{3}}-2i_{2}=6$ $-2i_{1}+9i_{2}-3i_{3}=0\quad \to \quad -2i_{1}+9i_{2}-3{\frac {i_{1}}{3}}=0\quad \to \quad -3i_{1}+9i_{2}=0$ $\Delta ={\begin{vmatrix}{\frac {8}{3}}&-2\\-3&9\end{vmatrix}}\,.\,{\begin{vmatrix}6\\0\end{vmatrix}}$ $\Delta ={\begin{vmatrix}{\frac {8}{3}}&-2\\-3&9\end{vmatrix}}\,=24-(6)\qquad \Delta =18$ $\Delta i_{1}={\begin{vmatrix}6&-2\\0&9\end{vmatrix}}\,=54-(0)\qquad \Delta i_{1}=54$ $\Delta i_{2}={\begin{vmatrix}{\frac {8}{3}}&6\\-3&0\end{vmatrix}}\,=0-(-18)\qquad \Delta i_{2}=18$ $i_{1}={\frac {\Delta i_{1}}{\Delta }}={\frac {54}{18}}\qquad i_{1}=3A\,$ $i_{2}={\frac {\Delta i_{2}}{\Delta }}={\frac {18}{18}}\qquad i_{2}=1A\,$ $i_{3}={\frac {i_{1}}{3}}={\frac {3}{3}}\qquad i_{3}=1A\,$

Exercício

Encontra as correntes do circuito abaixo e calcule a potência de todos os elementos.

Referências

[1] http://www.feng.pucrs.br/~virgilio/Circuitos_Eletricos_I/Capitulo3_ckt1.pdf

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