CEL18702 2016 1 AULA03

Leis de Kirchhoff

Inicialmente, será apresentada uma discussão sobre polaridade e tensão nos elementos componentes de um circuito elétrico. Desta forma, será possível calcular a tensão nos extremos do trecho de um circuito. Para geradores e receptores ideais, independentemente do sentido da corrente elétrica, o traço menor representa o polo negativo e o traço maior corresponde ao polo positivo, conforme a Figura 1.

Figura 1 - Representação da polaridade de um gerador ou um receptor ideal.

O polo B tem potencial elétrico maior que o polo A, ou seja, no sentido da seta da Figura 1, a tensão é positiva. Logo, tem-se:

$V_{B}-V_{A}=+E\,$

$V_{A}-V_{B}=-E\,$

Para os resistores, a polaridade é dada pelo sentido da corrente: o polo positivo é o da entrada da corrente, e negativo é o da saída, segundo a Figura 2.

Figura 2 - Representação da polaridade da tensão em um resistor.

O polo A tem potencial elétrico maior que o polo B, ou seja, a tensão é positiva no sentido oposto ao de circulação da corrente. Logo, tem-se:

$V_{A}-V_{B}=+R.I\,$

$V_{B}-V_{A}=-R.I\,$

Portanto, para o cálculo da tensão entre os extremos de um trecho de circuito, deve-se:

• Verificar o sentido de circulação da corrente;
• Marcar as polaridades das tensões de acordo com tal sentido;
• Efetuar o somatório das mesmas.

Na Figura 3, tem-se um exemplo básico.

Figura 3 - Trecho do circuito.

Seguindo os passos anteriormente descritos, chega-se à Figura 4.

Figura 4 - Trecho do circuito com marcação das tensões.

Assim, a diferença potencial entre A e B é:

$V_{A}-V_{B}=+r_{1}.I-E_{1}+R.I+E_{2}+r_{2}.I\,$

Lei dos Nós

Em um circuito elétrico, denomina-se nó um ponto comum a três ou mais condutores. Veja Figura 5.

Figura 5 - Nó de um circuito.

Assim, pode-se enunciar a primeira lei de Kirchhoff: “A soma das intensidades das correntes que chegam a um nó é igual à soma da intensidade das correntes que saem do mesmo”. No exemplo da Figura 5, tem-se:

$I_{1}=I_{2}+I_{3}\,$

Lei das Malhas

Em um circuito elétrico, denomina-se malha um conjunto de elementos de circuito constituindo um percurso fechado, como é mostrado na Figura 6.

Figura 6 - Malha de um circuito.

Assim, pode-se enunciar a segunda lei de Kirchhoff: “Percorrendo uma malha em um certo sentido, partindo e chegando ao mesmo ponto, a soma algébrica das tensões é nula”. No exemplo da Figura 6, tem-se a malha ABCD. Partindo-se do ponto A, adotando-se o sentido horário e retornando ao mesmo ponto, pode-se escrever:

$R_{2}.I_{2}+E_{2}+r_{2}.I_{2}+R_{1}.I_{2}+r_{1}.I_{1}-E_{1}=0\,$

Aplicação da Lei de Kirchoff com Fontes Dependentes

Tomemos como exemplo o circuito abaixo e façamos uma análise do mesmo utilizando a lei da soma de tensões. Vamos determinar a corrente sobre os elementos, a tensão Vx e a potência fornecida e absorvida pelos elementos do circuito.

Aplicando a lei das tensões

$-300-0,4V_{x}+5i+40+V_{x}=0\,$

Resolvendo o sistema

$-260-40i+5i+100i=0\,$

$i={\frac {260}{65}}=4A\,$

Logo

$V_{x}=400V\,$

A potência fornecida pela fonte de 300V

$P_{f300}=300.4=1200W\,$

A fonte 0,4Vx está fornecendo potência

$P_{f0,4Vx}=0,4V_{x}.i=0,4.400.4=640W\,$

A potência absorvida pelo resistor de 5$\Omega$ é

$P_{a5\Omega }=5.i^{2}=5.16=80W\,$

A fonte de 40V está absorvendo potência

$P_{40V}=40.4=160W\,$

A potência absorvida pelo resistor de 100$\Omega$ é

$P_{a100\Omega }=100.i^{2}=100.16=1600W\,$

Devemos agora verificar se a soma das potências fornecidas é igual a soma das potências absorvidas para comprovação do princípio de conservação de energia.

$\sum _{\,}^{\,}P_{f}=1200+640=1840W$

$\sum _{\,}^{\,}P_{a}=80+160+1600=1840W$

Com isto fizemos uma análise completa do comportamento de cada um dos elementos do circuito e comprovamos que a potência fornecida é igual à potência consumida.

Exercício de Fixação

Solução

A primeira coisa a se fazer é atribuirmos um sentido de corrente. Depois, atribuir um sentido para cada malha, que também pode ser aleatório. No caso do circuito acima, preferimos utilizar o sentido horário. Aplicando o lei do nós $i_{1}=i_{2}+i_{6}\,\qquad (I)$ $i_{2}=i_{3}+i_{4}\,\qquad (II)$ $i_{5}=i_{3}+i_{4}\,\qquad (III)$ Malha A $-10+1.i_{1}-20+2i_{1}=0\,\qquad 3i_{1}=30\qquad i_{1}={\frac {30}{3}}\qquad i_{1}=10A$ Malha B $+20+2.i_{2}+10+1i_{5}=0\,\qquad 2i_{2}+1i_{5}=-30$ Malha C $-10+1.i_{3}-20+2i_{3}=0\,\qquad 3i_{3}=30\qquad i_{3}={\frac {30}{3}}\qquad i_{3}=10A$ Substituindo os valores de $i_{1}e\,i_{3}$em I, II e III: $i_{1}=i_{2}+i_{6}\,\qquad 10=i_{2}+i_{6}\qquad i_{2}+i_{6}=10$ $i_{2}=i_{3}+i_{4}\,\qquad i_{2}=10+i_{4}\qquad i_{2}-i_{4}=10$ $i_{5}=i_{3}+i_{4}\,\qquad i_{5}=10+i_{4}\qquad i_{5}-i_{4}=10$ Mais IV, forma-se um sistema de quatro equações e quatro incógnitas. $i_{2}+i_{6}=10\,$ $i_{2}-i_{4}=10\,$ $i_{5}-i_{4}=10\,$ $2i_{2}+i_{5}=-30\,$ Isolando... $i_{4}=i_{2}-10\,$ Substituindo... $i_{5}-(i_{2}-10)=10\,\qquad i_{5}-i_{2}+10=10\qquad i_{5}-i_{2}=0\qquad i_{5}=i_{2}$ $2i_{2}+i_{2}=-30\,\qquad 3i_{2}=-30\qquad i_{2}=-{\frac {30}{3}}\qquad i_{2}=-10A$ Assim... $i_{5}=i_{2}\,\qquad i_{5}=-10A$ $i_{4}=i_{2}-10\,\qquad i_{4}=-10-10\qquad i_{4}=-20A$ Por último... $i_{2}+i_{6}=10\,\qquad -10+i_{6}=10\qquad i_{6}=10+10\qquad i_{6}=20A$ Como o valor das correntes $i_{2},i_{4}e\,i_{5}$ são negativos, isto significa que foram atribuídos sentidos contrários no exercício.

Exercício

1. Determine as correntes e a potência em cada elemento do circuito abaixo.

Referências

[1] http://wiki.sj.ifsc.edu.br/images/f/fc/Capitulo2_ckt1.pdf

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