CEL018702 2019 1 AULA03

Análise de Malhas

A Análise de Malhas é uma técnica utilizada em análise de circuitos baseada na simplificação do circuito do ponto de vista da "soma" de tensões. O método de análise das malhas só é aplicado às redes planares, isto é, somente se for possível desenhar o diagrama de um circuito numa superfície plana, sem que haja cruzamento dos ramos, então o circuito é dito planar. Na Figura 1 temos um exemplo de rede planar e não planar.

Figura 1 - Rede planar (a) e Rede não planar (b).

Um circuito é uma rede que contém pelo menos um caminho fechado por onde possa fluir corrente. O nome oficial para esse caminho é laço. Assim, se iniciarmos por um determinado nó e traçarmos pela rede uma linha fechada contínua, passando uma vez em cada nó e terminando no nó de partida, este caminho é um laço. A malha é uma propriedade de circuitos planares e é definida como sendo um laço que não contém nenhum outro por dentro.

A técnica de análise de malhas envolve o conceito de corrente de malha que definiremos como sendo a corrente que flui apenas no perímetro de uma malha. Vamos utilizar o exemplo da Figura 2 para melhor entendimento do método.

Figura 2 - Exemplo de aplicação do método de malhas.

Solução

1. Arbitramos as correntes de malhas dando a designação de $i_{1}\,$ para a malha 1, $i_{2}\,$ para a malha 2 e assim por diante;
2. O sentido arbitrado para as correntes de malha pode ser qualquer um, mas para facilitar a obtenção das equações adotamos sempre o sentido horário;
3. Escreve-se as equações de malha em termos das tensões utilizando a lei de Ohm $V=RI\,$
4. Simplifica-se as equações e resolve-se o sistema obtido.

Solução

Malha 1 $-6+2(i_{1}-i_{2})+1(i_{1}-i_{3})=0\quad \to \quad -6+2i_{1}-2i_{2}+1i_{1}-2i_{3}=0$ Malha 2 $4i_{2}+3(i_{2}-i_{3})+2(i_{2}-i_{1})=0\quad \to \quad 4i_{2}+3i_{2}-3i_{3}+2i_{2}-2i_{1}=0$ Malha 3 $-12+2i_{3}+1(i_{3}-i_{1})+3(i_{3}-i_{2})=0\quad \to \quad -12+2i_{3}+1i_{3}-1i_{1}+3i_{3}-3i_{2}=0$ Arrumando... $3i_{1}-2i_{2}-i_{3}=6\,$ $-2i_{1}+9i_{2}-3i_{3}=0\,$ $-i_{1}-3i_{2}+6i_{3}=12\,$ $\Delta ={\begin{vmatrix}3&-2&-1\\-2&9&-3\\-1&-3&6\end{vmatrix}}\,.\,{\begin{vmatrix}6\\0\\12\end{vmatrix}}$ $det\Delta ={\begin{vmatrix}3&-2&-1\\-2&9&-3\\-1&-3&6\end{vmatrix}}\,=\,90$ $det\Delta \,i_{1}={\begin{vmatrix}6&-2&-1\\0&9&-3\\12&-3&6\end{vmatrix}}\,=450$ $det\Delta \,i_{2}={\begin{vmatrix}3&6&-1\\-2&0&-3\\-1&12&6\end{vmatrix}}\,=222$ $det\Delta \,i_{3}={\begin{vmatrix}3&-2&6\\-2&9&0\\-1&-3&12\end{vmatrix}}\,=366$ $i_{1}={\frac {\Delta \,i_{1}}{\Delta }}\,\qquad i_{1}={\frac {450}{90}}=5A$ $i_{2}={\frac {\Delta \,i_{2}}{\Delta }}\,\qquad i_{2}={\frac {222}{90}}=2,47A$ $i_{3}={\frac {\Delta \,i_{3}}{\Delta }}\,\qquad i_{3}={\frac {366}{90}}=4,07A$

Exercício de Fixação

[1] Encontre as correntes para o circuito abaixo e a tensão sobre o resistor de 1 $\Omega$. (Malhas)

Solução

Sabe-se $i_{3}=6A\,$ malha 1 $-6+2(i_{1}-i_{2})+1(i_{1}-i_{3})=0\,$ $-6+2i_{1}-2i_{2}+1_{1}-6=0\,$ $3i_{1}-2i_{2}=12\,$ malha 2 $4i_{2}+3(i_{2}-i_{3})+2(i_{2}-i_{1})=0\,$ $4i_{2}+3i_{2}-18+2i_{2}-2i_{1}=0\,$ $-2i_{1}+9_{i}2=18\,$ Resolvendo o sistema (Cramer) $\Delta ={\begin{vmatrix}3&-2\\-2&9\end{vmatrix}}\,.\,{\begin{vmatrix}12\\18\end{vmatrix}}$ $\Delta ={\begin{vmatrix}3&-2\\-2&9\end{vmatrix}}\,=27-(4)\qquad \Delta =23$ $\Delta i_{1}={\begin{vmatrix}12&-2\\18&9\end{vmatrix}}\,=108-(-36)\qquad \Delta i_{1}=144$ $\Delta i_{2}={\begin{vmatrix}3&12\\-2&18\end{vmatrix}}\,=54-(-24)\qquad \Delta i_{2}=78$ $i_{1}={\frac {\Delta i_{1}}{\Delta }}={\frac {144}{23}}\qquad i_{1}=6,26A\,$ $i_{2}={\frac {\Delta i_{2}}{\Delta }}={\frac {78}{23}}\qquad i_{2}=3,39A\,$

[2] Determine o valor de todas as correntes no circuito e a queda de tensão nos resistores:

Solução

Malha 1 $-26+1ki_{1}+2k(i_{1}-i_{2})+13k(i_{1}-i_{3})=0\,\to \,-26+1ki_{1}+2ki_{1}-2ki_{2}+13ki_{2}-13ki_{3}=0\,\to \,16ki_{1}-2ki_{2}-13ki_{3}=26$ Malha 2 $4ki_{2}+5k(i_{2}-i_{3})+2k(i_{2}-i_{1})=0\,\to \,4ki_{2}+5ki_{2}-5ki_{3}+2ki_{2}-2ki_{1}=0\,\to \,-2ki_{1}+11ki_{2}-5ki_{3}=0$ Malha 3 $5k(i_{3}-i_{2})+0.5ki_{3}+13k(i_{3}-i_{1})=0\,\to \,5ki_{3}-5ki_{2}+0.5ki_{3}+13ki_{3}-13ki_{1}=0\,\to \,-13ki_{1}-5ki_{2}+18.5ki_{3}=0$ Organizando $16000i_{1}-2000i_{2}-13000i_{3}=26\,$ $-2000i_{1}+11000i_{2}-5000i_{3}=0\,$ $-13000i_{1}-5000i_{2}+18500i_{3}=0\,$ Resolvendo por Cramer $\Delta ={\begin{vmatrix}16000&-2000&-13000\\-2000&11000&-5000\\-13000&-5000&18500\end{vmatrix}}\,.\,{\begin{vmatrix}26\\0\\0\end{vmatrix}}$ Resultado confirmado (matlab/calc) $\Delta =663000000000\,$ $\Delta i_{1}=4641000000\,$ $\Delta i_{2}=2652000000\,$ $\Delta i_{3}=3978000000\,$ $i_{1}=0,007A\,$ $i_{2}=0,004A\,$ $i_{3}=0,006A\,$ $V_{1k}=7V\,$ $V_{2k}=6V\,$ $V_{4k}=16V\,$ $V_{5k}=-10V\,$ $V_{13k}=13V\,$ $V_{500}=3V\,$

Lista de Exercícios

1) Utilizando a ANÁLISE DE MALHAS, determine o valor das correntes que circulam nos resistores mostrados nos circuitos a seguir:

[a]

Respostas
Resposta: i1=-0,1425A, i2=-0,714A

[b]

Respostas
Resposta: i1=-3,06A, i2=0,19A

[c]

Respostas
Resposta: i1=1,445mA, i2=-8,5mA

[d] Calcule o valor da corrente I₃.

Respostas
Resposta: I3=-63,69mA

[e] Encontre a corrente no resistor R₅.

Respostas
Resposta: i1=0,393A; i2=0,177A; i3=0,138A; iR5=(0,138-0,177)=-0,039A

Lista de Exercícios: Análise de Malhas com Fontes de Corrente

1) Utilizando a ANÁLISE DE MALHAS, para todos os circuitos, determine o valor das correntes que circulam nos resistores mostrados nos circuitos a seguir:

[a]

Respostas
Resposta: i1=2,96A; i2=3A; i3=4,13A

[b] Encontre o valor de V₀.

Respostas
Resposta: i1=-2A; i2=0,785A; i3=-0,86A; V0=-1,72V

[c] Determine a corrente I_x:

Respostas
Resposta: Ix=8,4A (corrigido!)

[d] Determine as correntes de malha do circuito: (dica: faça a malha 1 e uma outra por fora, depois relacione I₃ e I₂)

Solução

Sabe-se $i_{3}=-13A\,$ malha 1 $-75+4(i_{1}+i_{2})+5(i_{1}-i_{3})=0\,$ $9i_{1}+4i_{2}-5i_{3}=75\,$ $9i_{1}+4i_{2}-5(-13)=75\,$ $9i_{1}+4i_{2}+65=75\,$ $9i_{1}+4i_{2}=10\,$ malha 2 $-75+4(i_{2}+i_{1})+6i_{2}+13=0\,$ $4i_{1}+10i_{2}=62\,$ Resolvendo o sistema (Cramer) $\Delta ={\begin{vmatrix}9&4\\4&10\end{vmatrix}}\,.\,{\begin{vmatrix}10\\62\end{vmatrix}}$ $\Delta ={\begin{vmatrix}9&4\\4&10\end{vmatrix}}\,=90-(16)\qquad \Delta =74$ $\Delta i_{1}={\begin{vmatrix}10&4\\62&10\end{vmatrix}}\,=100-(248)\qquad \Delta i_{1}=-148$ $\Delta i_{2}={\begin{vmatrix}9&10\\4&62\end{vmatrix}}\,=558-(40)\qquad \Delta i_{2}=518$ $i_{1}={\frac {\Delta i_{1}}{\Delta }}={\frac {-148}{74}}\qquad i_{1}=-2A\,$ $i_{2}={\frac {\Delta i_{2}}{\Delta }}={\frac {518}{74}}\qquad i_{2}=7A\,$ Lembrando que A corrente da malha não é a corrente em cada elemento (resistor). Portanto A corrente no resistor de 4Ω é i1+i2, no resistor de 5Ω é i1-i3 e no resistor de 6Ω é i2. Sendo assim $I_{1}=i_{1}+i_{2}=-2+7=5A\,$ $I_{2}=i_{2}=7A\,$ $I_{3}=7-13=-2+13=-6A\,$

[2] Determine o valor de todas as correntes no circuito e a queda de tensão nos resistores:

Solução

Malha 1 $-26+1ki_{1}+2k(i_{1}-i_{2})+13k(i_{1}-i_{3})=0\,\to \,-26+1ki_{1}+2ki_{1}-2ki_{2}+13ki_{2}-13ki_{3}=0\,\to \,16ki_{1}-2ki_{2}-13ki_{3}=26$ Malha 2 $4ki_{2}+5k(i_{2}-i_{3})+2k(i_{2}-i_{1})=0\,\to \,4ki_{2}+5ki_{2}-5ki_{3}+2ki_{2}-2ki_{1}=0\,\to \,-2ki_{1}+11ki_{2}-5ki_{3}=0$ Malha 3 $5k(i_{3}-i_{2})+0.5ki_{3}+13k(i_{3}-i_{1})=0\,\to \,5ki_{3}-5ki_{2}+0.5ki_{3}+13ki_{3}-13ki_{1}=0\,\to \,-13ki_{1}-5ki_{2}+18.5ki_{3}=0$ Organizando $16000i_{1}-2000i_{2}-13000i_{3}=26\,$ $-2000i_{1}+11000i_{2}-5000i_{3}=0\,$ $-13000i_{1}-5000i_{2}+18500i_{3}=0\,$ Resolvendo por Cramer $\Delta ={\begin{vmatrix}16000&-2000&-13000\\-2000&11000&-5000\\-13000&-5000&18500\end{vmatrix}}\,.\,{\begin{vmatrix}26\\0\\0\end{vmatrix}}$ Resultado confirmado (matlab/calc) $\Delta =663000000000\,$ $\Delta i_{1}=4641000000\,$ $\Delta i_{2}=2652000000\,$ $\Delta i_{3}=3978000000\,$ $i_{1}=0,007A\,$ $i_{2}=0,004A\,$ $i_{3}=0,006A\,$ $V_{1k}=7V\,$ $V_{2k}=6V\,$ $V_{4k}=16V\,$ $V_{5k}=-10V\,$ $V_{13k}=13V\,$ $V_{500}=3V\,$ Resposta: I1=5A; I2=7A; I3=-6A (confirmado!!!)

Referências

[1] http://www3.fsa.br/localuser/Eletronica/mario.garcia/Circuitos%20el%C3%A9tricos%20I/Determinantes.PDF

[2] http://www.falstad.com/circuit/

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