Mudanças entre as edições de "Código Gray"

Edição das 13h48min de 3 de maio de 2023

O código Gray é uma codificação na qual números adjacentes diferem de apenas um único bit. Desta forma ao fazer uma contagem em Gray, a cada incremento apenas um bit é modificado. Isso difere do que ocorre na contagem em binário, onde vários bits podem alterar com o incremento de um.

Por exemplo:

Em código binário sequencial o número adjacente a 0111 (7) é o 1000 (8), mudança em 4 bits.
Em código Gray seria: o número adjacente a 0100 (7) é o 1100 (8), mudança de apenas 1 bit.

Entre as aplicações do código Gray temos:

sistemas de controle de posição de eixos rotativos em máquinas
minimização de circuitos (Mapas de Karnaugh)
minimização e até correção de erros na transmissão digital (ex: QAM)

Tabela de códigos de 0 a 15

Octal	Hexadecimal	Decimal	Binário	Gray	One Hot
00	0	0	0000	0000	0000.0000.0000.0001
01	1	1	0001	0001	0000.0000.0000.0010
02	2	2	0010	0011	0000.0000.0000.0100
03	3	3	0011	0010	0000.0000.0000.1000
04	4	4	0100	0110	0000.0000.0001.0000
05	5	5	0101	0111	0000.0000.0010.0000
06	6	6	0110	0101	0000.0000.0100.0000
07	7	7	0111	0100	0000.0000.1000.0000
10	8	8	1000	1100	0000.0001.0000.0000
11	9	9	1001	1101	0000.0010.0000.0000
12	A	10	1010	1111	0000.0100.0000.0000
13	B	11	1011	1110	0000.1000.0000.0000
14	C	12	1100	1010	0001.0000.0000.0000
15	D	13	1101	1011	0010.0000.0000.0000
16	E	14	1110	1001	0100.0000.0000.0000
17	F	15	1111	1000	1000.0000.0000.0000

Conversão de Binário para Gray

Conversão de um número binário de $N$ bits em um número Gray pode ser feita considerando o um número binário inicial $b_{N-1}|b_{N-2}|...|b_{2}|b_{1}|b_{0}$ , o número Gray correspondente $g_{N-1}|g_{N-2}|...|g_{2}|g_{1}|g_{0}$ pode ser obtido através de:

para $\ i=N-1,g_{N-1}=b_{N-1}$

para $i=[N-2,...,0],g_{i}=b_{i+1}\oplus b_{i}$

Por exemplo para N = 4:

g_{3}=b_{3}\oplus 0

g_{2}=b_{2}\oplus b_{3}

g_{1}=b_{1}\oplus b_{2}

g_{0}=b_{0}\oplus b_{1}

Conversão de Gray para Binário

Conversão de um número Gray de $N$ bits em um número binário pode ser feita considerando o um número Gray inicial $g_{N-1}|g_{N-2}|...|g_{2}|g_{1}|g_{0}$ , o número binário correspondente $b_{N-1}|b_{N-2}|...|b_{2}|b_{1}|b_{0}$ pode ser obtido através de:

para $\ i=N-1,b_{N-1}=g_{N-1}$

para $i=[N-2,...,0],b_{i}=g_{i}\oplus b_{i+1}$

Por exemplo para N = 4:

b_{3}=g_{3}\oplus 0

b_{2}=g_{2}\oplus b_{3}

b_{1}=g_{1}\oplus b_{2}

b_{0}=g_{0}\oplus b_{1}

Ou expandindo:

b_{3}=g_{3}\oplus 0

b_{2}=g_{2}\oplus g_{3}

b_{1}=g_{1}\oplus g_{2}\oplus g_{3}

b_{0}=g_{0}\oplus g_{1}\oplus g_{2}\oplus g_{3}

Curiosidade

PULSE CODE COMMUNICATION Patente US2632058 Depositante: Bell Labs, Inventor: Frank Gray. Essa patente descreve o código Gray.
História e usos do código Gray [1]

@@ Linha 1: / Linha 1: @@
-==Conversão de Binário para Gray==
+O código Gray é uma codificação na qual números adjacentes diferem de apenas um único bit. Desta forma ao fazer uma contagem em Gray, a cada incremento apenas um bit é modificado.  Isso difere do que ocorre na contagem em binário, onde vários bits podem alterar com o incremento de um.
-Conversão de um número binário de <math> N </math> bits em um número Gray pode ser feita considerando o um número binário inicial
-<math>b_{N-1} | b_{N-2} | ... | b_2 | b_1 | b_0 </math>, o número Gray correspondente <math>g_{N-1} | g_{N-2} | ... | g_2 | g_1 | g_0 </math> pode ser obtido através de:
-para <math>\  i = N-1,          g_{N-1} = b_{N-1} </math>
-para <math>  i = [N-2, ..., 0],  g_{i} = b_{i+1} \oplus b_{i} </math>
-Por exemplo para N = 4:
-:<math>\  g_{3} = b_{3} </math>
-:<math>  g_{2} = b_{3} \oplus b_{2} </math>
-:<math>  g_{1} = b_{2} \oplus b_{1} </math>
-:<math>  g_{0} = b_{1} \oplus b_{0} </math>
-==Conversão de Gray para Binário==
+Por exemplo:
-Conversão de um número Gray de <math> N </math> bits em um número binário pode ser feita considerando o um número Gray inicial
+*Em código binário sequencial o número adjacente a 0111 (7) é o 1000 (8), '''mudança em 4 bits'''.
-<math>g_{N-1} | g_{N-2} | ... | g_2 | g_1 | g_0 </math>, o número binário correspondente <math>b_{N-1} | b_{N-2} | ... | b_2 | b_1 | b_0 </math> pode ser obtido através de:
+*Em código Gray seria: o número adjacente a 0100 (7) é o 1100 (8), '''mudança de apenas 1 bit'''.
-para <math>\  i = N-1,          b_{N-1} = g_{N-1} </math>
+Entre as aplicações do código Gray temos:
+*sistemas de controle de posição de eixos rotativos em máquinas
+*minimização de circuitos (Mapas de Karnaugh)
+*minimização e até correção de erros na transmissão digital (ex: QAM)
-para <math>  i = [N-2, ..., 0],  b_{i} = g_{i+1} \oplus b_{i+1} </math>
-Por exemplo para N = 4:
+==Tabela de códigos de 0 a 15==
-:<math>\  b_{3} = g_{3} </math>
+{| class="wikitable sortable" style="text-align:center; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
-:<math>  b_{2} = g_{3} \oplus b_{3} </math>
+|- style="font-weight:bold; background-color:#EAECF0;"
-:<math>  b_{1} = g_{2} \oplus b_{2} </math>
+! style="vertical-align:middle;" | Octal
-:<math>  b_{0} = g_{1} \oplus b_{1} </math>
+! style="vertical-align:middle;" | Hexadecimal
+! Decimal
-==Tabela de conversão de 4 bits==
+! style="vertical-align:middle;" | Binário
-{|class="prettytable"
+! style="vertical-align:middle;" | Gray
-!Código decimal
+! style="vertical-align:middle;" | One Hot
-!Código Binário
-!Código Gray
 |-
-|0||0000||0000
+| style="vertical-align:middle;" | 00
+| style="vertical-align:middle;" | 0
+| 0
+| style="vertical-align:middle;" | 0000
+| style="vertical-align:middle;" | 0000
+| style="vertical-align:middle;" | 0000.0000.0000.0001
 |-
-|1||0001||0001
+| style="vertical-align:middle;" | 01
+| style="vertical-align:middle;" | 1
+| 1
+| style="vertical-align:middle;" | 0001
+| style="vertical-align:middle;" | 0001
+| style="vertical-align:middle;" | 0000.0000.0000.0010
 |-
-|2||0010||0011
+| style="vertical-align:middle;" | 02
+| style="vertical-align:middle;" | 2
+| 2
+| style="vertical-align:middle;" | 0010
+| style="vertical-align:middle;" | 0011
+| style="vertical-align:middle;" | 0000.0000.0000.0100
 |-
-|3||0011||0010
+| style="vertical-align:middle;" | 03
+| style="vertical-align:middle;" | 3
+| 3
+| style="vertical-align:middle;" | 0011
+| style="vertical-align:middle;" | 0010
+| style="vertical-align:middle;" | 0000.0000.0000.1000
 |-
-|4||0100||0110
+| style="vertical-align:middle;" | 04
+| style="vertical-align:middle;" | 4
+| 4
+| style="vertical-align:middle;" | 0100
+| style="vertical-align:middle;" | 0110
+| style="vertical-align:middle;" | 0000.0000.0001.0000
 |-
-|5||0101||0111
+| style="vertical-align:middle;" | 05
+| style="vertical-align:middle;" | 5
+| 5
+| style="vertical-align:middle;" | 0101
+| style="vertical-align:middle;" | 0111
+| style="vertical-align:middle;" | 0000.0000.0010.0000
 |-
-|6||0110||0101
+| style="vertical-align:middle;" | 06
+| style="vertical-align:middle;" | 6
+| 6
+| style="vertical-align:middle;" | 0110
+| style="vertical-align:middle;" | 0101
+| style="vertical-align:middle;" | 0000.0000.0100.0000
 |-
-|7||0111||0100
+| style="vertical-align:middle;" | 07
+| style="vertical-align:middle;" | 7
+| 7
+| style="vertical-align:middle;" | 0111
+| style="vertical-align:middle;" | 0100
+| style="vertical-align:middle;" | 0000.0000.1000.0000
 |-
-|8||1000||1100
+| style="vertical-align:middle;" | 10
+| style="vertical-align:middle;" | 8
+| 8
+| style="vertical-align:middle;" | 1000
+| style="vertical-align:middle;" | 1100
+| style="vertical-align:middle;" | 0000.0001.0000.0000
 |-
-|9||1001||1101
+| style="vertical-align:middle;" | 11
+| style="vertical-align:middle;" | 9
+| 9
+| style="vertical-align:middle;" | 1001
+| style="vertical-align:middle;" | 1101
+| style="vertical-align:middle;" | 0000.0010.0000.0000
 |-
-|10||1010||1111
+| style="vertical-align:middle;" | 12
+| style="vertical-align:middle;" | A
+| 10
+| style="vertical-align:middle;" | 1010
+| style="vertical-align:middle;" | 1111
+| style="vertical-align:middle;" | 0000.0100.0000.0000
 |-
-|11||1011||1110
+| style="vertical-align:middle;" | 13
+| style="vertical-align:middle;" | B
+| 11
+| style="vertical-align:middle;" | 1011
+| style="vertical-align:middle;" | 1110
+| style="vertical-align:middle;" | 0000.1000.0000.0000
 |-
-|12||1100||1010
+| style="vertical-align:middle;" | 14
+| style="vertical-align:middle;" | C
+| 12
+| style="vertical-align:middle;" | 1100
+| style="vertical-align:middle;" | 1010
+| style="vertical-align:middle;" | 0001.0000.0000.0000
 |-
-|13||1101||1011
+| style="vertical-align:middle;" | 15
+| style="vertical-align:middle;" | D
+| 13
+| style="vertical-align:middle;" | 1101
+| style="vertical-align:middle;" | 1011
+| style="vertical-align:middle;" | 0010.0000.0000.0000
 |-
-|14||1110||1001
+| style="vertical-align:middle;" | 16
+| style="vertical-align:middle;" | E
+| 14
+| style="vertical-align:middle;" | 1110
+| style="vertical-align:middle;" | 1001
+| style="vertical-align:middle;" | 0100.0000.0000.0000
 |-
-|15||1111||1000
+| style="vertical-align:middle;" | 17
+| style="vertical-align:middle;" | F
+| 15
+| style="vertical-align:middle;" | 1111
+| style="vertical-align:middle;" | 1000
+| style="vertical-align:middle;" | 1000.0000.0000.0000
 |}
+==Conversão de Binário para Gray==
+Conversão de um número binário de <math> N </math> bits em um número Gray pode ser feita considerando o um número binário inicial
+<math>b_{N-1} | b_{N-2} | ... | b_2 | b_1 | b_0 </math>, o número Gray correspondente <math>g_{N-1} | g_{N-2} | ... | g_2 | g_1 | g_0 </math> pode ser obtido através de:
+para <math>\  i = N-1,          g_{N-1} = b_{N-1} </math>
+para <math>  i = [N-2, ..., 0],  g_{i} = b_{i+1} \oplus b_{i} </math>
+Por exemplo para N = 4:
+:<math>  g_{3} = b_{3} \oplus 0 </math>
+:<math>  g_{2} = b_{2} \oplus b_{3} </math>
+:<math>  g_{1} = b_{1} \oplus b_{2} </math>
+:<math>  g_{0} = b_{0} \oplus b_{1} </math>
+==Conversão de Gray para Binário==
+Conversão de um número Gray de <math> N </math> bits em um número binário pode ser feita considerando o um número Gray inicial
+<math>g_{N-1} | g_{N-2} | ... | g_2 | g_1 | g_0 </math>, o número binário correspondente <math>b_{N-1} | b_{N-2} | ... | b_2 | b_1 | b_0 </math> pode ser obtido através de:
+para <math>\  i = N-1,          b_{N-1} = g_{N-1} </math>
+para <math>  i = [N-2, ..., 0],  b_{i} = g_{i} \oplus b_{i+1} </math>
+Por exemplo para N = 4:
+:<math>  b_{3} = g_{3} \oplus 0 </math>
+:<math>  b_{2} = g_{2} \oplus b_{3} </math>
+:<math>  b_{1} = g_{1} \oplus b_{2} </math>
+:<math>  b_{0} = g_{0} \oplus b_{1} </math>
+Ou expandindo:
+:<math>  b_{3} = g_{3} \oplus 0 </math>
+:<math>  b_{2} = g_{2} \oplus g_{3}  </math>
+:<math>  b_{1} = g_{1} \oplus g_{2} \oplus g_{3} </math>
+:<math>  b_{0} = g_{0} \oplus g_{1} \oplus g_{2} \oplus g_{3} </math>
+==Curiosidade==
+*[https://patentimages.storage.googleapis.com/a3/d7/f2/0343f5f2c0cf50/US2632058.pdf PULSE CODE COMMUNICATION Patente US2632058] Depositante: Bell Labs,  Inventor: Frank Gray.  Essa patente descreve o código Gray.
+*[https://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code História e usos do código Gray] [https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Gray_code?_x_tr_sl=auto&_x_tr_tl=pt&_x_tr_hl=pt-BR&_x_tr_pto=wapp]

Mudanças entre as edições de "Código Gray"

Edição das 13h48min de 3 de maio de 2023

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Conversão de Binário para Gray

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