Cálculo Aplicado às Telecomunicações I (página)

A derivada de uma função

I Interpretação Geométrica da Derivada - A reta tangente

Consideremos uma função y = f(x) definida no plano xy e vamos admitir que uma reta intercepte y = f(x) em um ponto P[c, f(c)] fixo e em um ponto $Q=[c+\Delta x,f(c+\Delta x)]$. A reta que intercepta dois pontos de uma curva é denominada reta secante. A inclinação ou coeficiente angular m desta reta secante pode ser dada por

$m={\frac {f(c+\Delta x)-f(c)}{c+\Delta x-c}}={\frac {f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}}.$

Agora, admitindo o ponto P fixo, iremos rotacionar a reta secante até que ela tangencie a curva em um único ponto, neste caso o ponto P. Ao rotacionar a reta secante, os valores de (x,y) correspondentes ao ponto Q vão se aproximando dos valores de (x,y) correspondentes ao ponto P. Esta condição limite é também aplicável ao valor da inclinação da reta secante, ou seja, à medida que Q se aproxima de P, o valor da inclinação da reta secante vai se aproximando do valor da inclinação da reta tangente.

Analisando a última figura, é possível notar que à medida que a reta secante vai se aproximando da reta tangente, a porção $\Delta x$ vai assumindo valores cada vez menores, ou seja, $\Delta x$ tende a zero.

Então a inclinação da reta tangente pode ser definda pelo valor limite das inclinações das retas tangentes qunado $\Delta x$ tende a zero, ou seja,

$m=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(c+\Delta x)-f(c)}{c+\Delta x-c}}={\frac {f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}}.$

Exemplo: Encontre o coeficiente angular da reta tangenteao gráfico de $f(x)=x^{2}+1$ nos pontos (0,1) e (-1,2).

Solução: Aplicando a definição recém obtida e admitindo x = c, temos:

* Para o ponto (0,1):

$m=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$ $=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}+1-x^{2}-1}{\Delta x}}$ Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{x^2 + 2x(\Delta x) + (\Delta x}^2 + 1 - x^2 - 1}{\Delta x}} $=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {2x(\Delta x)+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}$ $=\lim \limits _{\Delta x\to 0}2x+(\Delta x)=2x=2*0=0.$