Mudanças entre as edições de "Cálculo Aplicado às Telecomunicações I (página)"

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'''A derivada de uma função'''
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''''Tópicos Relacionados'''
  
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'''I''' Interpretação Geométrica da Derivada - A reta tangente
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[[Diferenciação]]
  
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Consideremos uma função ''y = f(x)'' definida no plano ''xy'' e vamos admitir que uma reta intercepte ''y = f(x)'' em um ponto ''P[c, f(c)]'' fixo e em um ponto <math>Q = [c + \Delta x,  f(c + \Delta x)]</math>. A reta que intercepta dois pontos de uma curva é denominada ''reta secante''. A inclinação ou coeficiente angular ''m'' desta reta secante pode ser dada por
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[[Integração]]
  
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<math>m = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{c + \Delta x - c} = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{\Delta x}.</math>
 
  
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[[Imagem:reta secante.png|center]]
 
  
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Agora, admitindo o ponto ''P'' fixo, iremos rotacionar a reta secante até que ela tangencie a curva em um único ponto, neste caso o ponto ''P''. Ao rotacionar a reta secante, os valores de ''(x,y)'' correspondentes ao ponto ''Q'' vão se aproximando dos valores de ''(x,y)'' correspondentes ao ponto ''P''. Esta ''condição limite'' é também aplicável ao valor da inclinação da reta secante, ou seja, à medida que ''Q'' se aproxima de ''P'', o valor da inclinação da reta secante vai se aproximando do valor da inclinação da reta tangente.
 
  
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[[Imagem:rotação.png|center]]
 
  
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Analisando a última figura, é possível notar que à medida que a reta secante vai se aproximando da reta tangente, a porção <math>\Delta x</math> vai assumindo valores cada vez menores, ou seja, <math>\Delta x</math> tende a zero.
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'''Referências Bibliográficas:'''
  
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Então a inclinação da reta tangente pode ser definda pelo valor limite das inclinações das retas tangentes qunado <math>\Delta x</math> tende a zero, ou seja,
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- EDWARDS, B., HOSTETLER, R. & LARSON, R. – '''Cálculo com Geometria Analítica''', vol. 1 – LTC – 1994.
  
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<math>m = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{c + \Delta x - c} = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{\Delta x}.</math>
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- LEITHOLD, Louis – '''O cálculo com Geometria Analítica''', volume 1 – Harbra – 1976.
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'''Exemplo:''' Encontre o coeficiente angular da reta tangenteao gráfico de <math>f(x) = x^2 + 1</math> nos pontos ''(0,1)'' e ''(-1,2)''.
 
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'''Solução:''' Aplicando a definição recém obtida e admitindo ''x = c'', temos:
 
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'''* Para o ponto ''(0,1)'':'''
 
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<math>m = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}</math>
 
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<math>  = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{(x + \Delta x)^2 - x^2+1}{\Delta x}</math>
 
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<math>  = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{x^2 + 2x(\Delta x) + (\Delta x}^2 + 1 - x^2 - 1}{\Delta x}</math>
 
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<math>  = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{2x(\Delta x) + (\Delta x)^2}{\Delta x}</math>
 
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<math>  = \lim\limits_{\Delta x\to 0} 2x + (\Delta x) = 2x = 2 * 0 = 0.</math>
 

Edição atual tal como às 20h17min de 4 de agosto de 2008

'Tópicos Relacionados

Diferenciação

Integração



Referências Bibliográficas:

- EDWARDS, B., HOSTETLER, R. & LARSON, R. – Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1 – LTC – 1994.

- LEITHOLD, Louis – O cálculo com Geometria Analítica, volume 1 – Harbra – 1976.

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