Aula 2 (ELM3605)

Integral de Campo Vetorial sobre uma Superfície

∫superfície F∂s =

∫superfície (F) . cos(theta)∂s =

∫∫Fx∂y∂z + ∫∫Fy∂x∂z + ∫∫Fz∂x∂y

A equação integra o produto escalar a componente normal do campo F a superfície ∂s e o elemento ∂s como na figura anterior.

Simbolos para facilitar .. ƒβεθλΨΩω∞∂ℓ∫≈≠≤≥α→ Página de Ajuda da Wikipedia

Exercício

Determine o fluxo líquido de F = 2 âx + y ây - âz sobre uam superfície delimitada por:

-1 ≤ x ≤ 1

0 ≤ z ≤ 3

-2 ≤ y ≤ 2

Cálculo da superfície 1

z = ay + b

0 = a2 + 3

-3/2 = a

z = (-3/2)y + 3

Com isso podemos deifinir o intervalo da primeira integral:

∫(2→0)∫(0→(-3/2)y+3) -2∂y∂z

Resolvendo a primeira integral:

-2y |(2→0) . z (0→((-3/2)y + 3)

-2(-2) . ((-3/2)y + 3) |(2→0)=

4 . 3 = 12

Cálculo para segunda integral:

z = ax + b

0 = 1a + 3

a = -3

Após estabellecimento do intervalo da integral:

∫(1→0)∫(0→-3x+3) y∂x∂z=

y x |(1→0) z |(0→-3x+3)=

3y = 0

Cálculo para a terceira integral:

y = ax + 2

0 = a + 2

a = -2

Resolvendo a integral:

∫(1→0)∫(0→-2x+x) -∂x∂y=

-x |(1→0) . y |(0→-2x+x)= -2

E finalizando:

∫(2→0)∫(0→(-3/2)y+3) -2∂y∂z + ∫(1→0)∫(0→-3x+3) y∂x∂z + ∫(1→0)∫(0→-2x+x) -∂x∂y =

12 + 0 - 2 = 10

Lembrando que esse foi o cálculo de apenas uma superfície... è preciso fazer o Cálculo das outras.

Simbolos para facilitar .. ƒβεθλΨΩω∞∂ℓ∫≈≠≤≥α→