ANC60805 2015-2

CÓDIGO DA UNIDADE CURRICULAR - ANC60805

PROFESSORES: Bruno Fontana da Silva (até 16/12/2015) // ???

CONTATO: bruno.fontana@ifsc.edu.br / ???

SEMESTRE: 2015 - 2

ENCONTROS: Terça-feira (07h30min) e Quinta-feira (07h30min)

Bem vindo ao Diário de Aulas de Análise de Circuitos II (ANC60805).

Turmas A/B para Aulas Práticas

Avaliações

• Avaliação 01 (12/11/2015)

Obs.: na questão 2, do item (b) em diante, usar $R1=R2=100\Omega$ e $C=10\mu F$.

Refazer a avaliação e entregar a solução na aula do dia 19 de Novembro, às 7h30min..

• Notas Finais da Avaliação 01

Cronograma das Atividades

Notas de Aula

Aula 01 (06/10)

Aula 01 (06/10) - Revisão de Circuitos DC e Análise Transitória RC/RL

Figura 1: Cascata de divisores resistivos. Figura 2: Circuito RC. Figura 2: Circuito RC. Simulador On-line (PartSim da DigiKey) Simulador LTspice IV (Linear Technology) Atividades de aula No circuito da Figura 1: encontrar os valores de tensão A, B e C; encontrar as correntes e potências em todos os resisotores; tarefa de casa: simular o ponto de operação DC do circuito e validar os valores calculados em sala. No circuito da Figura 2, assumindo que a tensão inicial do capacitor é V(C1) = 0 Volts (capacitor descarregado), calcule: os valores de tensão e corrente iniciais dos componentes R1 e C1; os valores de tensão e correntes dos componentes R1 e C1 em regime permanente; a constante de tempo do circuito $\left(\tau _{RC}=R\times C\right)$; o tempo de carga do capacitor $\left(t_{charge}\approx 5\tau _{RC}\right)$; tarefa de casa: simular a curva transiente de carga do capacitor (corrente e tensão). No circuito da Figura 3, assumindo que a tensão corrente inicial do indutor é $i(L1)=0$ Ampéres (indutor descarregado), calcule: os valores de tensão e corrente iniciais dos componentes R2 e L1; os valores de tensão e correntes dos componentes R2 e L1 em regime permanente; a constante de tempo do circuito $\left(\tau _{RL}={\dfrac {L}{R}}\right)$; o tempo de carga do capacitor $\left(t_{charge}\approx 5\tau _{RL}\right)$; tarefa de casa: simular a curva transiente de carga do indutor (corrente e tensão).

Aula 03 (13/10)

Aula 03 (13/10) - Revisão de Funções Trigonométricas

Aula com Revisão de Funções Trigonométricas Exemplo: Para um sinal de tensão com a seguinte forma de onda: $v_{1}(t)=20\cos {\left(2\pi 1000t+{\dfrac {\pi }{3}}\right)}+2$ defina: o valor de amplitude do sinal; a frequência angular; a frequência em ciclos por segundo (Hz); o período do sinal; a fase do sinal; a componente DC do sinal; $v(t=1ms)$. Solução Observe que os sinais baseados em funções trigonométricas sempre seguem o formato: $f(t)=A\cos {\left(\omega t+\phi \right)}+{\text{offset}}$, sendo $A$ o valor de amplitude do sinal; $\omega =2\pi f$ a frequência angular, em que $f$ é a frequência em Hz; $\phi$ a fase inicial do sinal alternado; ${\text{offset}}$ um valor constante correspondente à média (ou valor DC) do sinal. Igualando as duas expressões, $f(t)=v_{1}(t)$ ${\color {Blue}{A}}\cos {\left({\color {Red}{\omega }}t+{\color {OliveGreen}{\phi }}\right)}+{\color {RedViolet}{\text{offset}}}={\color {Blue}{20}}\cos {\left({\color {Red}{2\pi 1000}}t+{\color {OliveGreen}{\dfrac {\pi }{3}}}\right)}+{\color {RedViolet}{2}}$ observamos, por inspeção, que $A=20$ $\mathrm {Volts}$ (corresponde ao valor que multiplica o cosseno); $\omega =2000\pi$ $\mathrm {rad/s}$ (corresponde ao coeficiente que multiplica a variável $t$ do tempo) $\phi ={\dfrac {\pi }{3}}$ $\mathrm {rad}$ (corresponde ao ângulo constante no argumento do cosseno, ou seja, livre da variável $t$) ${\text{offset}}=2$ $\mathrm {Volts}$ (corresponde ao valor constante da função, eliminando os termos cossenoidais). A frequência em Hertz é encontrada através da frequência angular: $\omega =2\pi f$ $f={\dfrac {\omega }{2\pi }}$ $f={\dfrac {2000\pi }{2\pi }}=1000$ $\mathrm {Hertz}$ (ou ciclos por segundo). O período do sinal (tempo de duração de um ciclo) é o inverso da frequência: $T={\dfrac {1}{f}}$ $T=1$ $\mathrm {ms}$. Por fim, para encontrar $v(t=1\mathrm {ms} )$ basta substituir $t=1\mathrm {ms}$ na equação de $v(t)$.. $v(t=1\mathrm {ms} )=20\cos {\left(2\pi 1000\times 1\times 10^{-3}+{\dfrac {\pi }{3}}\right)}+2$ $v(t=1\mathrm {ms} )=20\cos {\left(2\pi +{\dfrac {\pi }{3}}\right)}+2$ $v(t=1\mathrm {ms} )=20\cos {\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}+2$ $v(t=1\mathrm {ms} )=20\times {\dfrac {1}{2}}+2$ $v(t=1\mathrm {ms} )=12$ $\mathrm {Volts}$.

Aula 04 (15/10)

Aula 04 (15/10) - Revisão de Números Complexos

Figura 1: Representação gráfica do número complexo z no Plano Complexo. Figura 2: Representação gráfica do número complexo z no Plano Complexo. Forma Retangular Seja a unidade imaginária definida como $j\triangleq {\sqrt {-1}}$. A forma retangular de um número complexo $z$ é dada como: $z=a+jb$, sendo $a=\Re {\lbrace z\rbrace }$ a parte real do número complexo $z$ e $b=\Im {\lbrace z\rbrace }$ a parte imaginária do número complexo $z$. A representação do número complexo $z$ pode ser realizada graficamente através do Plano Complexo (observe a Figura 1). Forma Polar O número complexo $z$ também pode ser representado na forma polar, através de um módulo ($R$ ) e um ângulo ($\theta$ ). Observe as relações em destaque na Figura 2. ${\begin{aligned}a&=R\cos {\left(\theta \right)}\\b&=R\sin {\left(\theta \right)}\\\\z&=a+jb\\&=R\cos {\left(\theta \right)}+jR\sin {\left(\theta \right)}\\&=R\left(\cos {\left(\theta \right)}+j\sin {\left(\theta \right)}\right)\end{aligned}}$ Observando a geometria da Figura 2, também é possível concluir que: ${\begin{aligned}R&={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\\theta &=\tan ^{-1}{\left({\dfrac {b}{a}}\right)}\end{aligned}}$ Equação de Euler A fórmula de Euler é uma fórmula matemática na análise de números complexos que estabelece uma relação entre funções trigonométricas e funções exponenciais complexas. ${\begin{aligned}e^{j\theta }&=\cos {\left(\theta \right)}+j\sin {\left(\theta \right)}\end{aligned}}$ Através dessa relação e das formas polar e retangular apresentadas anteriormente para o número complexo $z$ , concluímos que: ${\begin{aligned}z&=a+jb\\&=Re^{j\theta }\end{aligned}}$ Conjugado de um número complexo ${\bar {z}}=a-jb=Re^{-j\theta }$ Exemplos (1) Considere o circuito da Figura 3 e calcule a tensão e a corrente em todos os elementos do circuito. Solução ${\begin{aligned}Z_{T}&=Z_{1}+Z_{2}//Z_{3}\\&=Z_{1}+{\dfrac {Z_{2}\times Z_{3}}{Z_{2}+Z_{3}}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}i_{1}&={\dfrac {V_{T}}{Z_{T}}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}V_{1}&=i_{1}\times Z_{1}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}V_{2}&=V_{3}=V_{T}-V_{1}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}i_{2}&={\dfrac {V_{2}}{Z_{2}}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}i_{3}&={\dfrac {V_{3}}{Z_{2}}}\end{aligned}}$ Figura 3: Representação de um circuito AC com impedâncias.

Aula 05 (19/10)

Aula 05 (19/10) - Fontes Senoidais
Exemplo 1: configurando tempo total e passo de simulação. Exemplo 2: configurando tempo total e passo de simulação. Circuito resistivo com fonte senoidal Expressão cossenoidal a partir do gráfico simulado

Aulas 06 e 07 (22/10 e 27/10)

Aulas 06 e 07 (22/10 e 27/10) - Impedância Complexa e Diagrama Fasorial

Em regime permanente senoidal (RPS) de corrente alternada (CA), o efeito de carga e descarga dos elementos armazenadores de energia pode ser representado utilizando números complexos. A frequência angular das fontes CA é representada pela variável $\omega =2\pi f$ $(\mathrm {rad/s} )$, sendo $f$ o valor da frequência da fonte em Hertz. Definimos o conceito de impedância como sendo a dificuldade à passagem da corrente oferecida por um elemento capacitor ou indutor quando sujeito à uma entrada de energia senoidal. Impedância do capacitor Para o capacitor, a impedância é dada por: $Z_{C}=-jX_{C}={\dfrac {1}{j\omega C}}$, sendo ${\begin{aligned}&X_{C}={\dfrac {1}{\omega C}}\end{aligned}}$ denominada a reatância do capacitor (módulo de sua impedância). A fase da impedância do capacitor é $-{\dfrac {\pi }{2}}$ ou $-90^{\circ }$. Impedância do Indutor = Para o indutor, a impedância é dada por: ${\begin{aligned}Z_{L}&=jX_{L}\\&=j\omega L\end{aligned}}$, sendo ${\begin{aligned}&X_{L}=\omega L\end{aligned}}$ denominada a reatância do indutor (módulo de sua impedância). A fase da impedância do indutor é ${\dfrac {\pi }{2}}$ ou $90^{\circ }$. Associações de Impedâncias A associação de impedâncias é idêntica à associação de resistores. Sejam ${\begin{aligned}&Z_{1}\end{aligned}}$ e ${\begin{aligned}&Z_{2}\end{aligned}}$ duas impedâncias quaisquer. Ao conectar os terminais de ${\begin{aligned}&Z_{1}\end{aligned}}$ e ${\begin{aligned}&Z_{2}\end{aligned}}$ em paralelo, a impedância equivalente fica: ${\begin{aligned}Z_{p}&={\dfrac {Z_{1}\times Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}\end{aligned}}$. Na associação em série de ${\begin{aligned}&Z_{1}\end{aligned}}$ e ${\begin{aligned}&Z_{2}\end{aligned}}$, o equivalente fica: ${\begin{aligned}Z_{s}&={Z_{1}+Z_{2}}\end{aligned}}$. Exemplos Solução

Aula 08

Aula 08 - Função de Transferência

Aula 09 (14/11/15)

Aula 09 - Teorema da Superposição em Circuitos AC

Teorema da Superposição Para aplicação do teorema da superposição, vamos considerar que: o circuito é formado exclusivamente por elementos passivos lineares (resistores, capacitores e indutores) e fontes dependentes e independentes; as entradas do circuito são as tensões de todas as fontes de tensão independentes e as correntes de todas as fontes de corrente independentes; a saída é a tensão ou a corrente de qualquer componente do circuito. O teorema da superposição afirma que a saída de um circuito linear produzida por várias entradas agindo simultaneamente é igual à soma das saídas produzidas pelas entradas agindo separadamente. ${\begin{aligned}{\binom {\#{\text{ de circuitos}}}{\text{a serem analisados}}}={\binom {\#{\text{ de fontes}}}{\text{independentes}}}\end{aligned}}$ Passos para aplicar o teorema da superposição: (1) Escolha uma fonte para manter no circuito e calcular o efeito que ela produz no circuito separadamente. (2) Para o resto das fontes, torne a sua influência nula da seguinte forma: (a) ao remover uma fonte de tensão, substitua-a por uma conexão direta de resistência nula (curto-circuito); (b) ao remover uma fonte de corrente, substituta-a por um circuito aberto (resistência infinita). (3) Determine as correntes de malha ou tensões dos nós produzidas pela fonte do passo (1). (4) Repita o procedimento de (1) a (3) com as demais fontes do circuito que ainda não foram analisadas. (5) ***Some algebricamente os efeitos das correntes de malha (ou tensões dos nós) de todas as fontes. Ou seja, a corrente (ou tensão) através de qualquer elemento é igual à soma algébrica das correntes (ou tensões) produzidas independentemente pro cada fonte. Caso 1: Fontes CA de mesma frequência ${\begin{aligned}\omega \end{aligned}}$ Aplicar o procedimento de forma direta. O efeito total pode ser combinado diretamente na forma polar (fontes CA). ${\begin{aligned}V_{T,\omega }=V_{1}\angle \theta _{1}+V_{2}\angle \theta _{2}+\ldots +V_{N}\angle \theta _{N}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}i_{T,\omega }=i_{1}\angle \phi _{1}+i_{2}\angle \phi _{2}+\ldots +i_{N}\angle \phi _{N}\end{aligned}}$ Caso 2: Fontes de frequência diferente ***Neste caso, o passo (5) deve ser realizado no domínio do tempo e NÃO pode ser realizado na forma polar. Ou seja, para obter o resultado final, devem-se somar as funções trigonométricas das correntes (ou tensões) que foram calculadas separadamente. ${\begin{aligned}V_{T,CA}(t)=V_{1}\cos {(\omega _{1}t+\theta _{1})}+V_{2}\cos {(\omega _{2}t+\theta _{2})}+\ldots +V_{N}\cos {(\omega _{N}t+\theta _{N})}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}i_{T,CA}(t)=i_{1}\cos {(\omega _{1}t+\phi _{1})}+i_{2}\cos {(\omega _{2}t+\phi _{2})}+\ldots +i_{N}\cos {(\omega _{N}t+\phi _{N})}\end{aligned}}$ Caso 3: Fonte CC e Fonte CA ***Neste caso, o passo (5) deve ser realizado no domínio do tempo e NÃO pode ser realizado na forma polar. O resultado final é obtido somando as funções trigonométricas das correntes (ou tensões) alternadas que foram calculadas separadamente com as correntes (ou tensões) de corrente contínua resultantes. ${\begin{aligned}V_{T}(t)=V_{T,CC}+V_{T,CA}(t)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}i_{T}(t)=i_{T,CC}+i_{T,CA}(t)\end{aligned}}$

Aulas 10 e 11 (17/11/2015 e 19/11/2015)

Aulas 10 e 11 - Potência em Circuitos CA

Potência instantânea Como a tensão e a corrente variam no tempo em circuitos com fontes alternadas, a potência também é variante no tempo. A potência instantânea em qualquer elemento de um circuito é definida como o produto dos sinais instantâneos de tensão e corrente nesse elemento: ${\begin{aligned}p(t)&=v(t)i(t){\text{ }}\left[\mathrm {W} ,{\text{ }}\mathrm {Watts} \right]\end{aligned}}$. No arquivo abaixo, você pode analisar a interpretação de potência instantânea de fontes senoidais em um circuito RLC, alterando valores como frequência, capacitância, indutância e resistência para observar os efeitos em termos de potência instantânea da fonte. Análise da Potência Instantânea em Circuito CA Circuito RLC Série Valores Eficazes Para comparar a potência efetiva de um circuito de corrente alternada com um circuito de corrente contínua, define-se o conceito de valor eficaz (RMS) de um sinal periódico ${\begin{aligned}x(t)\end{aligned}}$ como sendo: ${\begin{aligned}x_{RMS}={\sqrt {\dfrac {{\text{area de }}x^{2}(t)}{{\text{periodo de }}x(t)}}}\end{aligned}}$ sendo a área de ${\begin{aligned}x^{2}(t)\end{aligned}}$ calculada apenas dentro de um período de ${\begin{aligned}x(t)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\left[0,T\right]\end{aligned}}$. Para sinais periódicos (cos)senoidais de valor médio nulo, tem-se que o valor RMS é aproximadamente 70,7% do valor de pico, dado pela fórmula: ${\begin{aligned}x_{RMS}={\dfrac {x_{pico}}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}$. Potência Complexa A potência aparente, na forma complexa polar, é dada por: ${\begin{aligned}S&=|V_{rms}||i_{rms}|\angle {(\theta _{V}-\theta _{i})}{\text{ }}\left[\mathrm {VA} ,{\text{ }}\mathrm {Volt\cdot Ampere} \right]\\&=P+jQ\end{aligned}}$ sendo que: ${\begin{aligned}|V_{rms}|={\dfrac {|V_{pico}|}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}$ é o valor eficaz da tensão; ${\begin{aligned}|i_{rms}|={\dfrac {|i_{pico}|}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}$ é o valor eficaz da corrente; ${\begin{aligned}\theta _{V}\end{aligned}}$ é o ângulo da tensão (na forma polar); ${\begin{aligned}\theta _{i}\end{aligned}}$ é o ângulo da corrente (na forma polar). Na forma retangular de ${\begin{aligned}S&=P+jQ\end{aligned}}$ podemos identificar dois termos, denominados potência ativa (${\begin{aligned}P\end{aligned}}$, a parte real de ${\begin{aligned}S\end{aligned}}$) e potência reativa (${\begin{aligned}Q\end{aligned}}$, a parte imaginária de ${\begin{aligned}S\end{aligned}}$). A potência ativa ${\begin{aligned}P\end{aligned}}$ corresponde à potência consumida pelos elementos resistivos do circuito, transformada em calor pelo efeito Joule. Sua unidade é Watts (W). A potência reativa ${\begin{aligned}Q\end{aligned}}$ corresponde à potência circulante no circuito devido aos elementos armazenadores de energia (capacitor e indutor). Ora essa energia é fornecida pelas fontes do circuito, ora ela é devolvida pelos capacitores/indutores. Sua unidade é VA reativos (VAr). Pelo triângulo das potências, podemos relacionar ${\begin{aligned}P\end{aligned}}$, ${\begin{aligned}Q\end{aligned}}$ e ${\begin{aligned}S\end{aligned}}$ da seguinte maneira: ${\begin{aligned}P=|S|\cos {(\phi )}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}Q=|S|\sin {(\phi )}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}|S|={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\phi =\cos ^{-1}{\left({\dfrac {P}{Q}}\right)}\end{aligned}}$ em que ${\begin{aligned}\phi =\theta _{V}-\theta _{i}\end{aligned}}$ é a defasagem entre tensão e corrente no elemento considerado.

Listas de Exercícios

Lista 01: Análise Transitória RC/RL

Figura 1a: Células fotovoltaícas na estação espacial*. Figura 1b: Circuito com fotocélulas*. Figura 2: Circuito com elementos armazenadores de energia. Em t=0, a fonte de -1 V é desligada e a fonte de 1 V é ligada. Figura 3a: Uma fonte de energia de 240 W*. Figura 3b: Modelo da fonte de energia da Figura 3a*. (1 - DORF/SVOBODA*) As células fotovoltaicas da estação espacial proposta na Figura 1a fornecem a tensão elétrica $v(t)$ do circuito mostrado na Figura 1b. A estação espacial passa atrás da sombra da terra (em $t=0$) com tensão $v(0)=2{\text{ Volts}}$ e $i(0)=0.1{\text{ A}}$. Faça um esboço da tensão $v(t)$ para $t\geq 0$ até o seu regime permanente $\left(t\approx 5s\right)$. Use o simulador de circuitos para auxiliar. (2 - DORF/SVOBODA*) Determine $i(t)$ e $v(t)$ (em regime permanente) para $t<0$ e para $t>0$ para o circuito da Figura 2. (3 - DORF/SVOBODA*) Uma fonte de alimentação de 240 W é mostrada na Figura 3a. Este circuito emprega um indutor e um capacitor de grande porte. O modelo do circuito é apresentado na Figura 3b. Encontre $i_{L}(t)$ (em regime permanente) para $t<0$ (antes da abertura da chave) e para $t>0$ (após a abertura da chave) no circuito da Figura 3b. Para $t<0$, assuma condições de regime permanente antes da abertura da chave. Simule o circuito e faça um esboço da corrente no indutor. (4) Repita o exercício anterior para a corrente $i_{8\Omega }(t)$ (no resistor de $8\Omega$) e calcule a potência dissipada no resistor para os dois casos. *DORF, Richard C.; SVOBODA, James A. Introdução Aos Circuitos Elétricos. LTC - GRUPO GEN, 8a Ed. 2012, ISBN 9788521621164.

Lista 02: Análise em Regime Permanente Senoidal

Figura P10.8-5: Circuito de um sintetizador*. Figura P10.8-9: Circuito equivalente do corpo durante o choque*. Figura P10.8-10a: Circuito resistivo DC*. Figura P10.8-10b: Circuito RLC em regime permanente senoidal*. (P10.8-5 - DORF/SVOBODA*) Uma das atrações do filme Quero Ser Grande é um piano gigantesco tocado com os pés. O criador do piano usou um sintetizador acoplado a um alto-falante, como mostra a Figura 10.8-5 (Gardner, 1998). Determine a corrente $i(t)$ para uma nota musical de $796$ $\mathrm {Hz}$ se $C=10$ $\mathrm {\mu F}$. (P10.8-9 - DORF/SVOBODA*) Todo ano, 500 a 1000 pessoas morrem nos Estados Unidos por causa de choques elétricos. Se uma pessoa faz um bom contato elétrico com as mãos, o circuito pode ser representado pela Figura P10.8-9, onde $v_{s}(t)=160\cos {(\omega t)}$ $\mathrm {V}$ e $\omega =2\pi f$. Determine a corrente estacionária que atravessa o corpo: (a) para $f=60$ $\mathrm {Hz}$; (b) para $f=400$ $\mathrm {Hz}$. (P10.8-10 - DORF/SVOBODA*, adaptado.) Nos circuitos das Figuras P10.8-10a e P10.8-10b, determine a função de transferência $G(\omega )$ considerando a tensão $v(t)$ com sendo a tensão de saída $V_{out}$. *DORF, Richard C.; SVOBODA, James A. Introdução Aos Circuitos Elétricos. LTC - GRUPO GEN, 8a Ed. 2012, ISBN 9788521621164.

Exercícios Complementares

Lista 01b: Sinal Senoidal

Lista 02b: Sinal Senoidal (Gráficos)

Lista 03b: Reatâncias e Impedância

Lista 04b: Reatâncias e Impedância

Lista 05a: Resolver usando Teorema da Superposição

Lista 05b: Resolver usando Teorema da Superposição

Professores

• 2015-2 - Bruno Fontana da Silva
  

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