Teoria de números/Máximo divisor comum
Ir para navegação
Ir para pesquisar
Demonstração |
---|
Dado um número inteiro , vamos mostrar por indução que , com cada sendo um número primo.
De fato, para , o teorema é válido, pois basta tomar . Se , e for primo, a afirmação é obviamente verdadeira, pois é suficiente escolher . Considere então que é composto, e que a hipótese de indução é que todo número menor que admite decomposição em fatores primos. Logo, existem inteiros e tais que . Além disso, e são menores que . Pela hipótese de indução, tem-se
com cada e cada sendo um número primo, donde segue que: Assim, basta renomear os primos e como , e tem-se o teorema. |
- Ver como deveria funcionar a predefinição em: http://pt.wikibooks.org/wiki/Teoria_de_n%C3%BAmeros/M%C3%A1ximo_divisor_comum