EDI18701 2016 1 AULA05

Apresentação

Olá Alunos!

Agora que vocês conhecem o sistema de numeração, que já tiveram álgebra booleana para simplificação de circuitos e hora de ver uma ferramenta muito utilizado em projetos de Eletrônica Digital, que facilita em muito a simplificação de circuitos. Estamos falando do mapa de Veitch-Karnaugh, ou simplesmente mapa de Karnaugh, onde uma tabela é montada de forma a facilitar o processo de minimização das expressões lógicas.

Objetivos

• Aprender como se monta o mapa de Karnaugh;
• Simplificar circuitos com até 4 variáveis.

Formas Normais (Canônicas)

Toda expressão booleana pode ser escrita em uma forma padronizada, denominada forma normal ou forma canônica. Em matemática diz forma canônica as formas ou equações simples que se possa reduzir, por meio de mudança de variáveis, ou um certo número de formas ou equações. Duas dessas formas são:

• Forma Normal Conjuntiva (FNC), Produto de Somas ou Produto de Maxtermos;
• Forma Normal Disjuntiva (FND), Soma de Produtos ou Soma de Mintermos.

Maxtermos e Mintermos

• Maxtermos (ou maxitermos)

• Variável com valor 0 é deixada intacta;
• Variável com valor 1 é alterada pela sua negação;
• Variáveis de uma mesma linha são conectadas por "+" (adição).

• Mintermos (ou minitermos)

• Variável com valor 1 é deixada intacta;
• Variável com valor 0 é alterada pela sua negação;
• Variáveis de uma mesma linha são conectadas por "." (multiplicação).

A B C	Maxtermo	Mintermo
0 0 0	$A+B+C\,$	${\bar {A}}.{\bar {B}}.{\bar {C}}$
0 0 1	$A+B+{\bar {C}}\,$	${\bar {A}}.{\bar {B}}.C$
0 1 0	$A+{\bar {B}}+C\,$	${\bar {A}}.B.{\bar {C}}$
0 1 1	$A+{\bar {B}}+{\bar {C}}\,$	${\bar {A}}.B.C$
1 0 0	${\bar {A}}+B+C\,$	$A.{\bar {B}}.{\bar {C}}$
1 0 1	${\bar {A}}+B+{\bar {C}}\,$	$A.{\bar {B}}.C$
1 1 0	${\bar {A}}+{\bar {B}}+C\,$	$A.B.{\bar {C}}$
1 1 1	${\bar {A}}+{\bar {B}}+{\bar {C}}\,$	$A.B.C\,$

Forma Normal Disjuntiva

• Mintermo (ou minitermo) é o termo produto associado à cada linha da tabela verdade, no qual todas as variáveis de entrada estão presentes.
• Dado um dado mintermo, se substituirmos os valores das variáveis associadas, obteremos "1".
• Porém, se substituirmos nesse mesmo mintermo quaisquer outras combinações de valores, obteremos "0".
• Dessa forma, se quisermos encontrar a equação para uma função a partir de sua tabela verdade, basta montarmos um OU entre os mintermos associados aos "1s" da função.

Exemplo (FND)

Situação	A B C	S	Mintermo
0	0 0 0	0
1	0 0 1	0
2	0 1 0	1	${\bar {A}}.B.{\bar {C}}$
3	0 1 1	1	${\bar {A}}.B.C$
4	1 0 0	0
5	1 0 1	1	$A.{\bar {B}}.C$
6	1 1 0	1	$A.B.{\bar {C}}$
7	1 1 1	0

• S é uma função das variáveis de entrada A, B e C.
• Os valores de (A,B,C) para os quais S=1 encontram-se nas situações 2, 3, 5 e 6.
• Os mintermos associados a essas condições (ou seja, os mintermos 1) são mostrados na tabela ao lado
• Logo, a expressão em soma de produtos (FND) para S será o OU entre estes produtos
• $S={\bar {A}}.B.{\bar {C}}+{\bar {A}}.B.C+A.{\bar {B}}.C+A.B.{\bar {C}}$

Forma Normal Conjuntiva

• Maxtermo (ou maxitermo) é o termo soma associado à cada linha da tabela verdade, no qual todas as variáveis de entrada estão presentes.
• Dado um dado maxtermo, se substituirmos os valores das variáveis associadas, obteremos "0".
• Porém, se substituirmos nesse mesmo maxtermo quaisquer outras combinações de valores, obteremos "1".
• Dessa forma, se quisermos encontrar a equação para uma função a partir de sua tabela verdade, basta montarmos um E entre os maxtermos associados aos "0s" da função.

Exemplo (FNC)

Situação	A B C	S	Maxtermos
0	0 0 0	0	$A+B+C\,$
1	0 0 1	0	$A+B+{\bar {C}}$
2	0 1 0	1
3	0 1 1	1
4	1 0 0	0	${\bar {A}}+B+C$
5	1 0 1	1
6	1 1 0	1
7	1 1 1	0	${\bar {A}}+{\bar {B}}+{\bar {C}}$

S é uma função das variáveis de entrada A, B e C � Os valores de (A,B,C) para os quais S=0 encontram-se nas situações 0, 1, 4 e 7 � Os maxtermos associados a essas condições (ou seja, os maxtermos 0) são mostrados na tabela ao lado � Logo, a expressão em produto de somas (FNC) para S será o E entre estas somas � S = (A+B+C) . (A+B+C). (Ā+B+C) . (Ā+B+C)

Mapa de Karnaugh

• A técnica de simplificação que será utilizada requer que a expressão esteja na forma de soma de produtos - Minitermos.
• Uma barra não pode cobrir mais de uma variável.
• Método gráfico usado para simplificar uma equação lógica ou converter uma tabela verdade no seu circuito lógico correspondente.
• Estudaremos sua aplicação para problemas com até 4 variáveis. Acima disso, os mapas se tornam muito complicados, sendo melhor fazer a análise por meio de programas de computador.

Duas variáveis.

A B	S
A B	S
0 0	1
0 1	0
1 0	0
1 1	1

Desenhar o mapa no quadro.

Três variáveis.

A B C	S
A B C	S
0 0 0	1
0 0 1	1
0 1 0	1
0 1 1	0
1 0 0	0
1 0 1	0
1 1 0	0
1 1 1	0

Desenhar o mapa no quadro.

Quatro variáveis.

A B C	S
A B C D	S
0 0 0 0	0
0 0 0 1	1
0 0 1 0	0
0 0 1 1	0
0 1 0 0	0
0 1 0 1	1
0 1 1 0	0
0 1 1 1	0
1 0 0 0	0
1 0 0 1	0
1 0 1 0	0
1 0 1 1	0
1 1 0 0	0
1 1 0 1	1
1 1 1 0	0
1 1 1 1	1

Material de Apoio

[1] [Slides da Aula]

[2] http://www.ufjf.br/daniel_silveira/files/2011/06/aula_4.pdf

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