Dado um número inteiro , vamos mostrar por indução que , com cada sendo um número primo.
De fato, para , o teorema é válido, pois basta tomar .
Se , e for primo, a afirmação é obviamente verdadeira, pois é suficiente escolher .
Considere então que é composto, e que a hipótese de indução é que todo número menor que admite decomposição em fatores primos.
Logo, existem inteiros e tais que . Além disso, e são menores que .
Pela hipótese de indução, tem-se
e
,
com cada e cada sendo um número primo, donde segue que:
![{\displaystyle n=a\cdot b=\left(q_{1}\cdot q_{2}\cdot \ldots \cdot q_{m}\right)\cdot \left(t_{1}\cdot t_{2}\cdot \ldots \cdot t_{n}\right)\,\!}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/703a5b0c6ae700ecba2342e38784f6cbfac57911)
Assim, basta renomear os primos e como , e tem-se o teorema.
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