CEL18702 AULA04
Análise de Circuitos Elétricos de CC em Regime Permanente
Leis de Kirchhoff
Inicialmente, será apresentada uma discussão sobre polaridade e tensão nos elementos componentes de um circuito elétrico. Desta forma, será possível calcular a tensão nos extremos do trecho de um circuito. Para geradores e receptores ideais, independentemente do sentido da corrente elétrica, o traço menor representa o polo negativo e o traço maior corresponde ao polo positivo, conforme a Figura 1.
Figura 1 - Representação da polaridade de um gerador ou um receptor ideal.
O polo B tem potencial elétrico maior que o polo A, ou seja, no sentido da seta da Figura 1, a tensão é positiva. Logo, tem-se:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_B - V_A = +E\,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_A-V_B = -E\,}
Para os resistores, a polaridade é dada pelo sentido da corrente: o polo positivo é o da entrada da corrente, e negativo é o da saída, segundo a Figura 2.
Figura 2 - Representação da polaridade da tensão em um resistor.
O polo A tem potencial elétrico maior que o polo B, ou seja, a tensão é positiva no sentido oposto ao de circulação da corrente. Logo, tem-se:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_A - V_B = +R.I\,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_B - V_A = -R.I\,}
Portanto, para o cálculo da tensão entre os extremos de um trecho de circuito, deve-se:
- Verificar o sentido de circulação da corrente;
- Marcar as polaridades das tensões de acordo com tal sentido;
- Efetuar o somatório das mesmas.
Na Figura 3, tem-se um exemplo básico.
Figura 3 - Trecho do circuito.
Seguindo os passos anteriormente descritos, chega-se à Figura 4.
Figura 4 - Trecho do circuito com marcação das tensões.
Assim, a diferença potencial entre A e B é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_A - V_B = +r_1.I-E_1+R.I+E_2+r_2.I\, }
Lei dos Nós
Em um circuito elétrico, denomina-se nó um ponto comum a três ou mais condutores. Veja Figura 5.
Figura 5 - Nó de um circuito.
Assim, pode-se enunciar a primeira lei de Kirchhoff: “A soma das intensidades das correntes que chegam a um nó é igual à soma da intensidade das correntes que saem do mesmo”. No exemplo da Figura 5, tem-se:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_1=I_2+I_3\, }
Lei das Malhas
Em um circuito elétrico, denomina-se malha um conjunto de elementos de circuito constituindo um percurso fechado, como é mostrado na Figura 6.
Figura 6 - Malha de um circuito.
Assim, pode-se enunciar a segunda lei de Kirchhoff: “Percorrendo uma malha em um certo sentido, partindo e chegando ao mesmo ponto, a soma algébrica das tensões é nula”.
No exemplo da Figura 6, tem-se a malha ABCD. Partindo-se do ponto A, adotando-se o sentido horário e retornando ao mesmo ponto, pode-se escrever:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_2.I_2+E_2+r_2.I_2+R_1.I_2+r_1.I_1-E_1=0\, }
Aplicação da Lei de Kirchoff com Fontes Dependentes
Tomemos como exemplo o circuito abaixo e façamos uma análise do mesmo utilizando a lei da soma de tensões. Vamos determinar a corrente sobre os elementos, a tensão Vx e a potência fornecida e absorvida pelos elementos do circuito.
- Aplicando a lei das tensões
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -300-0,4V_x+5i+40+V_x=0\,}
- Resolvendo o sistema
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -260-40i+5i+100i=0\,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i = \frac{260}{65} = 4 A\,}
- Logo
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_x=400V\,}
- A potência fornecida pela fonte de 300V
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{f300}=300.4=1200W\,}
- A fonte 0,4Vx está fornecendo potência
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{f0,4Vx}=0,4V_x i=0,4.400.4=640W\,}
- A potência absorvida pelo resistor de 5Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega} é
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{a5\Omega}=5.i^2=5.16=80W\,}
- A fonte de 40V está absorvendo potência
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{40V}=40.4=160W\,}
- A potência absorvida pelo resistor de 100Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega} é
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{a100\Omega}=100.i^2=100.16=1600W\,}
Devemos agora verificar se a soma das potências fornecidas é igual a soma das potências
absorvidas para comprovação do princípio de conservação de energia.
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{\,}^{\,} P_f = 1200+640=1840W }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{\,}^{\,} P_a = 80+160+1600=1840W }
Com isto fizemos uma análise completa do comportamento de cada um dos elementos do circuito e comprovamos que a potência fornecida é igual à potência consumida.
Exercício de Fixação
| Solução |
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|
A primeira coisa a se fazer é atribuirmos um sentido de corrente. Depois, atribuir um sentido para cada malha, que também pode ser aleatório. No caso do circuito acima, preferimos utilizar o sentido horário.
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_1=i_2+i_6\,\qquad (I) } Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_2=i_3+i_4\,\qquad (II) } Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_5=i_3+i_4\,\qquad (III) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -10 + 1.i_1 -20 + 2i_1 = 0\,\qquad 3i_1=30 \qquad i_1=\frac{30}{3} \qquad i_1=10A }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle +20 + 2.i_2 +10 + 1i_5 = 0\,\qquad 2i_2+1i_5=-30 }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -10 + 1.i_3 -20 + 2i_3 = 0\,\qquad 3i_3=30 \qquad i_3=\frac{30}{3} \qquad i_3=10A } Substituindo os valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_1 e\, i_3} em I, II e III: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_1=i_2+i_6 \,\qquad 10=i_2+i_6 \qquad i_2+i_6=10 } Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_2=i_3+i_4 \,\qquad i_2=10+i_4 \qquad i_2-i_4=10 } Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_5=i_3+i_4 \,\qquad i_5=10+i_4 \qquad i_5-i_4=10 }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_2+i_6=10\,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_2-i_4=10\,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_5-i_4=10\,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2i_2+i_5=-30\,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_4=i_2-10\,} Substituindo... Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_5-(i_2-10)=10\, \qquad i_5-i_2+10=10 \qquad i_5-i_2=0 \qquad i_5=i_2 } Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2i_2+i_2=-30\, \qquad 3i_2=-30 \qquad i_2=-\frac{30}{3} \qquad i_2=-10A } Assim... Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_5=i_2\, \qquad i_5=-10A } Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_4=i_2-10\, \qquad i_4=-10-10 \qquad i_4=-10A } Por último... Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_2+i_6=10\, \qquad -10+i_6=10 \qquad i_6=10+10 \qquad i_6=20A } Como o valor das correntes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_2, i_4 e\, i_5} são negativos, isto significa que foram atribuídos sentidos contrários no exercício.
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Referências
[1] http://www.infoescola.com/eletricidade/leis-de-kirchhoff/
[2] https://pt.wikipedia.org/wiki/Leis_de_Kirchhoff
[3] http://www.feng.pucrs.br/~virgilio/Circuitos_Eletricos_I/Capitulo2_ckt1.pdf
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