Análise de Nodal
Análise de circuitos mais gerais acarreta na solução de um conjunto de
equações.
Análise nodal:
- Tensões são as incógnitas a serem determinadas.
- Deve-se escolher um nó do circuito como referência.
- Associar aos outros nós uma tensão em relação ao nó de referência (tensão de nó).
- Polaridade de um nó é escolhida de tal forma que as tensões dos nós sejam positivas em relação ao nó de referência.
- Nó de referência é geralmente escolhido como o que possui o maior número de ramos conectados.
- Nó de referência possui potencial zero (terra).
- Aplica-se então a lei de Kirchhoff para corrente nos nós.
- As correntes nos elementos são proporcionais às tensões sobre os mesmos.
Figura 1 - Tensões de Nó:
e
.
Figura 2 - Circuitos com dois Nós.
- Lei de Kirchhoff de correntes
Nó 1:
ou em termos de tensões:
Nó 2:
ou em termos de tensões:
Exercício de Fixação
Utilizando a análise nodal, determine as tensões sobre os resistores no circuito abaixo:
[a] Determine os nós do circuito.
[b] Aplique a lei de Kirchoff para os nós indicados.
[c] Equacionar o circuito lembrando que é a soma de corrente e não de tensões como acontece nas malhas.
[d] Solucione utilizando substituição, regra de CRAMER (matrizes) ou escalonamento.
Solução
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- Nó 1 (V1)
![{\displaystyle -5+{\frac {V_{1}}{2}}+{\frac {V_{1}}{5}}+{\frac {V_{1}-V_{2}}{2}}=0\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec51c3e9f1f4099832f0e0ae53d9afddcd65f7a2)
![{\displaystyle {\frac {V_{1}}{2}}+{\frac {V_{1}}{5}}+{\frac {V_{1}}{2}}-{\frac {V_{2}}{2}}=5\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a337276f6c6ef0ee20a90490f4199f826a5d1f2)
- mmc
![{\displaystyle {\frac {5V_{1}+2V_{1}+5V_{1}-5V_{2}}{10}}=5\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb7d2acfd8bcbd4d359c96259ddd85cdb14ffbc)
- passa multiplicando o 10
![{\displaystyle 12V_{1}-5V_{2}=5.10\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/033822869fec88e94fd1f2fbdff8b08253239df7)
![{\displaystyle 12V_{1}-5V_{2}=50\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce5c3d22de7173e880d0cb2f6d308675416b275)
- Nó 2 (V2)
![{\displaystyle -3+{\frac {V_{2}}{4}}+{\frac {V_{2}-V_{1}}{2}}=0\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4314d6d9d054f91213638ce2aef07972639d47f5)
![{\displaystyle {\frac {V_{2}}{4}}+{\frac {V_{2}}{2}}-{\frac {V_{1}}{2}}=3\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e067f2a2c0aeb049adffd02a0966f2deb7848d2)
- mmc
![{\displaystyle {\frac {V_{2}+2V_{2}-2V_{1}}{4}}=3\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a92d6ad211346ce70a1a526220aa8f9ccdf1d71)
![{\displaystyle -2V_{1}+3V_{2}=3.4\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbbf31a92a82814c5b2f8334f6c30ed9d1a7774)
![{\displaystyle -2V_{1}+3V_{2}=12\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f027f1c62d6d607d312ddab7c17db5dc3a841f8)
- Resolvendo o sistema (Cramer)
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Exercícios
[a] Usando análise nodal, determine as tensões sobre os resistores indicados:
[b] Usando análise nodal, determine as tensões sobre os resistores indicados:
Condutância
Vamos abrir um parênteses para falar sobre condutância. A ideia é que os circuitos fiquem em "termos" de multiplicação e não de divisão. A Figura 3 mostra um exemplo que permite escrever as equações de nós por inspeção direta em função da tensão dos nós.
Figura 3 - Exemplos de circuito resistivo x condutivo.
ou
- Fórmula matemática da condutância
Para calcular a condutância de um determinado condutor, temos que saber o valor da sua resistência. Assim, e sabendo que a condutância é o inverso da resistência, chegamos à seguinte fórmula:
Se tivermos por exemplo, um condutor em que a resistência seja igual a 10Ω, substituímos o R de resistência por 10Ω e obtemos o seguinte cálculo:
- Então
Logo com este cálculo concluímos que um condutor com uma resistência de 10Ω, tem uma condutância de 0,1 siemens.
Análise com dois nós
Tomemos um novo exemplo para o qual faremos a mesma análise do exemplo anterior. O
exemplo que se segue é de um circuito com um único par de nós possuindo também fontes
dependentes:
Figura 1 - Aplicação da lei dos nós a um circuito com fontes dependentes.
Como se pode verificar, a tensão
aplicada sobre a condutância de 5 está também aplicada
sobre todos os elementos do circuito. Considerando que a corrente sobre as condutâncias estão com a
seta dirigida para o nó inferior e aplicamos a lei dos nós.
Podemos agora determinar as correntes sobre as condutâncias assim como a potência fornecida
ou consumida por cada um dos elementos.
- Na condutância 5
- Na condutância 6
- Na condutância 10
- Potência fornecida pela fonte de 3mA
- Potência fornecida pela fonte de 13mA
- Potência fornecida pela fonte dependente
- Por último, fazemos o balanço das potências
Exercícios
[1] ...
[2] ...
Referências
[1] http://www.feng.pucrs.br/~fdosreis/ftp/elobasicem/Aulas%202006%20II/AnaliseNodal.pdf