Mudanças entre as edições de "CEL18702 2017 2 AULA04"
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Edição atual tal como às 14h05min de 4 de setembro de 2017
Análise de Nodal
Conforme visto anteriormente, a solução de um circuito elétrico contendo N malhas requer a determinação de N incógnitas, as quais são as correntes imaginárias de cada uma das malhas. Também foi mostrado que a aplicação das Leis de Kirchoff e a consideração das relações tensão e corrente de cada nó ou malha permite estabelecer as equações necessárias para a solução do circuito. No entanto, a solução fica mais simples quando se utiliza um conjunto de variáveis distinto das variáveis de nó. No caso da análise de nós serão utilizadas as tensões dos nós do circuito em relação a um nó de referência, ao invés da tensão de malha (tensão entre os terminais de cada ramo). Desta forma será obtido um sistema de equações tendo como incógnitas as tensões dos nós do circuito em relação ao nó de referência, o qual pode ser escolhido como qualquer nó do circuito. A aplicação sistemática deste procedimento é denominada Análise Nodal e é descrita resumidamente a seguir
Parte I
Análise de circuitos mais gerais acarreta na solução de um conjunto de equações. Análise nodal:
- Tensões são as incógnitas a serem determinadas.
- Deve-se escolher um nó do circuito como referência.
- Associar aos outros nós uma tensão em relação ao nó de referência (tensão de nó).
- Polaridade de um nó é escolhida de tal forma que as tensões dos nós sejam positivas em relação ao nó de referência.
- Nó de referência é geralmente escolhido como o que possui o maior número de ramos conectados.
- Nó de referência possui potencial zero (terra).
- Aplica-se então a lei de Kirchhoff para corrente nos nós.
- As correntes nos elementos são proporcionais às tensões sobre os mesmos.
Figura 1 - Tensões de Nó: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_1} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_2} .
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_{12} = V_1 - V_2\,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_{13} = V_1 - 0 = V_1\,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_{23} = V_2 - 0 = V_2\,}
Figura 2 - Circuitos com dois Nós.
- Lei de Kirchhoff de correntes
Nó 1: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_1+i_2-i_{g1}=0\,} ou em termos de tensões: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{V_1}{R_1} + \frac{(V_1-V_2)}{R_2}-i_{g1}=0}
Nó 2: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -i_2+i_3+i_{g2}=0\,} ou em termos de tensões: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{(V_2-V_1)}{R_2} + \frac{V_2}{R_3}+i_{g2}=0}
Exercício de Fixação
Utilizando a análise nodal, determine as tensões sobre os resistores no circuito abaixo:
[a] Determine os nós do circuito.
[b] Aplique a lei de Kirchoff para os nós indicados.
[c] Equacionar o circuito lembrando que é a soma de corrente e não de tensões como acontece nas malhas.
[d] Solucione utilizando substituição, regra de CRAMER (matrizes) ou escalonamento.
| Solução |
|---|
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix} 12 & -5 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}\,.\,\begin{vmatrix} 50 \\ 12 \end{vmatrix} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta V_1=\begin{vmatrix} 50 & -5 \\ 12 & 3 \end{vmatrix}\,=150-(-60)\qquad \Delta V_1=210 } Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta V_2=\begin{vmatrix} 12 & 50 \\ -2 & 12 \end{vmatrix}\,=144-(-100)\qquad \Delta V_2=244 }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_2=\frac{\Delta V_2}{\Delta}=\frac{244}{26} \qquad V_2=9,38V\,}
|
Exercícios
[a] Usando análise nodal, determine as tensões sobre os resistores indicados:
| Resultado |
|---|
|
Resultado: V1=4,8V; V2=6,4V |
[b] Usando análise nodal, determine as tensões sobre os resistores indicados:
| Resultado |
|---|
|
Resultado: V1=-2,55V; V2=4,03V; |
[c] Usando análise nodal, determine as tensões sobre todos os nós:
| Resultado |
|---|
|
Resultado: V1= 3,7V; V2= 7,2V; V3= 4,6V; |
Parte II
Anteriormente, estudamos circuitos resistivos utilizando análise nodal. Agora vamos transformar as resistências em condutâncias e resolver esses mesmos circuitos da mesma forma de como se fossem resistências, retirando a questão das frações das equações.
Nota: Um circuito com três nós terá duas tensões incógnitas e duas equações; um circuito com dez nós terá nove tensões desconhecidas e nove equações; um circuito com N nós terá N-1 tensões incógnitas e N-1 equações.
Condutância
Vamos abrir um parênteses para falar sobre condutância. A ideia é que os circuitos fiquem em "termos" de multiplicação e não de divisão. A Figura 1 mostra um exemplo que permite escrever as equações de nós por inspeção direta em função da tensão dos nós.
Figura 1 - Exemplos de circuito resistivo x condutivo.
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V=V_1-V_2\,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=\frac{V}{R} =\frac{V_1-V_2}{R}\,} ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=\frac{V}{R}=G(V_1-V_2)\,}
- Fórmula matemática da condutância
Para calcular a condutância de um determinado condutor, temos que saber o valor da sua resistência. Assim, e sabendo que a condutância é o inverso da resistência, chegamos à seguinte fórmula:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G=\frac{1}{R}\,}
Se tivermos por exemplo, um condutor em que a resistência seja igual a 10Ω, substituímos o R de resistência por 10Ω e obtemos o seguinte cálculo:
- Então
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G=\frac{1}{R}=\frac{1}{10}=0,1 S (siemens) \,}
Logo com este cálculo concluímos que um condutor com uma resistência de 10Ω, tem uma condutância de 0,1 siemens.
Exemplo 1
Tomemos esse exemplo para o qual faremos a mesma análise do dos exercícios anteriores. O exemplo que se segue é de um circuito com um único par de nós possuindo também fontes dependentes:
Figura 1 - Aplicação da lei dos nós a um circuito com fontes dependentes.
Como se pode verificar, a tensão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_1}
aplicada sobre a condutância de 5 está também aplicada
sobre todos os elementos do circuito. Considerando que a corrente sobre as condutâncias estão com a
seta dirigida para o nó inferior e aplicamos a lei dos nós.
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 5V_1-0,003+6V_1-20V_1+10V_1+0,013=0\,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1V_1=-0,003-0,013\, \to \, V_1=-0,01V}
Podemos agora determinar as correntes sobre as condutâncias assim como a potência fornecida ou consumida por cada um dos elementos.
- Na condutância 5
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_5 = 5V_1=-0,05A\,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_5 = 5V_1^2=5(-0,01)^2=5.10^{-4}W}
- Na condutância 6
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_6 = 6V_1=-0,06A\,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_6 = 6V_1^2=5(-0,01)^2=6.10^{-4}W}
- Na condutância 10
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_{10} = 10V_1=-0,1A\,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{10} = 10V_1^2=10(-0,01)^2=1.10^{-3}W}
- Potência fornecida pela fonte de 3mA
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{f3ma} = 0,003V_1 =-0,3.10^{-4}W \, ; \,P_a=0,3.10^{-4}W}
- Potência fornecida pela fonte de 13mA
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{f13ma} = -0,013V_1 =-1,3.10^{-4}W\,}
- Potência fornecida pela fonte dependente
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{f20Vx} = 20V_1.V_1 = 20V_1^2=20(-0,01)^2=20.10^{-4}W\,}
- Por último, fazemos o balanço das potências
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{\,}^{\,} P_f = 1,3.10^{-4}+20.10^{-4}=21,3.10^{-4}W }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{\,}^{\,} P_a = 5.10^{-4}+6.10^{-4}+0,3.10^{-4}=21,3.10^{-4}W }
Exemplo 2
Utilizando análise nodal encontre as tensões nos nós do circuito e encontre as correntes em todos os resistores.
- Resolvendo o Circuito
- Definindo os nós do circuito (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_1\,e\,V_2} ).
Percebe-se que a condutância de 2 está curtocircuitada, portanto, não será considerada no sistema.
Outra definição importante é que devemos atribuir o sinal da corrente que chega e que sai do nó. Podendo ser negativas as correntes que chegam no nó e positivas as correntes que saem do nó. Lembrando, não há nenhum problema em arbitrar essas corrente de forma contrária, tendo como resultados os valores com troca de sinal.
| Resposta |
|---|
|
V1=-1,26V; V2=-2,83V; |
Exercícios
- [1] Ache as tensões dos nós Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_1\,e\,V_2}
| Solução |
|---|
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2+4)v_1-4v_2=20+18\,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 6v_1-4v_2=38\,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (4+7)v_2-4v_1=-18-24\,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -4v_1+11v_2=-42\,}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_1=5V\,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_2=-2V\,} |
- [2] Ache as tensões dos nós Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_1\,,\,V_2\,e\,V_3}
| Solução |
|---|
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_1=-2V\,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_2=4V\,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_2=6V\,} |
- [3] Utilizando o método dos nós calcular a corrente I0 para o circuito abaixo.
| Respostas |
|---|
|
I0=0,33uA |
- [4] Utilizando análise de nós, determine o valor de VX para o circuito abaixo.
| Respostas |
|---|
|
VX=26,3mV |
Referências
[1] http://www.feng.pucrs.br/~fdosreis/ftp/elobasicem/Aulas%202006%20II/AnaliseNodal.pdf
[2] http://www.decom.fee.unicamp.br/~baldini/EA513/Cap4.pdf
