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− | {{collapse bottom}}
| + | ;Resolvendo o sistema (Cramer): |
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− | ==Condutância== | + | <math> |
| + | \Delta=\begin{vmatrix} 12 & -5 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}\,.\,\begin{vmatrix} 50 \\ 12 \end{vmatrix} |
| + | </math> |
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− | Vamos abrir um parênteses para falar sobre condutância. A ideia é que os circuitos fiquem em "termos" de multiplicação e não de divisão. A Figura 3 mostra um exemplo que permite escrever as equações de nós por inspeção direta em função da tensão dos nós.
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| + | <math> |
| + | \Delta=\begin{vmatrix} 12 & -5 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}\,=36-10\qquad \Delta=26 |
| + | </math> |
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− | [[Imagem:fig57_CEL18702.png|center|300px]]
| + | <math> |
− | <center> | + | \Delta V_1=\begin{vmatrix} 50 & -5 \\ 12 & 3 \end{vmatrix}\,=150-(-60)\qquad \Delta V_1=210 |
− | Figura 3 - Exemplos de circuito resistivo x condutivo.
| + | </math> |
− | </center> | |
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− | <math>V=V_1-V_2\,</math> | + | <math> |
| + | \Delta V_2=\begin{vmatrix} 12 & 50 \\ -2 & 12 \end{vmatrix}\,=144-(-100)\qquad \Delta V_2=244 |
| + | </math> |
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− | <math>i=\frac{V}{R} =\frac{V_1-V_2}{R}\,</math> ou <math>i=\frac{V}{R}=G(V_1-V_2)\,</math>
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− | ;Fórmula matemática da condutância:
| + | <math>V_1=\frac{\Delta V_1}{\Delta}=\frac{210}{26} \qquad V_1=8,07V\,</math> |
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− | Para calcular a condutância de um determinado condutor, temos que saber o valor da sua resistência. Assim, e sabendo que a condutância é o inverso da resistência, chegamos à seguinte fórmula:
| + | <math>V_2=\frac{\Delta V_2}{\Delta}=\frac{244}{26} \qquad V_2=9,38V\,</math> |
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− | <math>G=\frac{1}{R}\,</math>
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− | Se tivermos por exemplo, um condutor em que a resistência seja igual a 10Ω, substituímos o R de resistência por 10Ω e obtemos o seguinte cálculo:
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− | ;Então:
| + | {{collapse bottom}} |
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− | <math>G=\frac{1}{R}=\frac{1}{10}=0,1 S (siemens) \,</math>
| + | =Exercícios= |
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| + | [a] Usando análise nodal, determine as tensões sobre os resistores indicados: |
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− | Logo com este cálculo concluímos que um condutor com uma resistência de 10Ω, tem uma condutância de 0,1 siemens.
| + | [[Imagem:fig96_CEL18702.png|center|400px]] |
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− | ==Análise com dois nós==
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− | Tomemos um novo exemplo para o qual faremos a mesma análise do exemplo anterior. O
| + | {{collapse top|Resultado}} |
− | exemplo que se segue é de um circuito com um único par de nós possuindo também fontes
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− | dependentes:
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− | | + | Resultado: V<sub>1</sub>=4,8V; V<sub>2</sub>=6,4V |
− | [[Imagem:fig31_CEL18702.png|center|450px]]
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− | <center> | |
− | Figura 1 - Aplicação da lei dos nós a um circuito com fontes dependentes.
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− | </center> | |
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− | Como se pode verificar, a tensão <math>V_1</math> aplicada sobre a condutância de 5 está também aplicada
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− | sobre todos os elementos do circuito. Considerando que a corrente sobre as condutâncias estão com a
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− | seta dirigida para o nó inferior e aplicamos a lei dos nós.
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− | <math>5V_1-0,003+6V_1-20V_1+10V_1+0,013=0\,</math>
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− | <math>1V_1=-0,003-0,013\, \to \, V_1=-0,01V</math>
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− | Podemos agora determinar as correntes sobre as condutâncias assim como a potência fornecida
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− | ou consumida por cada um dos elementos.
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− | ;Na condutância 5
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− | <math>i_5 = 5V_1=-0,05A\,</math>
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− | <math>P_5 = 5V_1^2=5(-0,01)^2=5.10^{-4}W</math>
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− | ;Na condutância 6
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− | <math>i_6 = 6V_1=-0,06A\,</math>
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− | <math>P_6 = 6V_1^2=5(-0,01)^2=6.10^{-4}W</math>
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− | ;Na condutância 10 | |
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− | <math>i_{10} = 10V_1=-0,1A\,</math> | |
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− | <math>P_{10} = 10V_1^2=10(-0,01)^2=1.10^{-3}W</math>
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− | ;Potência fornecida pela fonte de 3mA:
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− | <math>P_{f3ma} = 0,003V_1 =-0,3.10^{-4}W \, ; \,P_a=0,3.10^{-4}W</math>
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− | ;Potência fornecida pela fonte de 13mA:
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− | <math>P_{f13ma} = -0,013V_1 =-1,3.10^{-4}W\,</math>
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− | ;Potência fornecida pela fonte dependente:
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− | <math>P_{f20Vx} = 20V_1.V_1 = 20V_1^2=20(-0,01)^2=20.10^{-4}W\,</math>
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− | ;Por último, fazemos o balanço das potências:
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− | <math>
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− | \sum_{\,}^{\,} P_f = 1,3.10^{-4}+20.10^{-4}=21,3.10^{-4}W
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− | </math>
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− | <math>
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− | \sum_{\,}^{\,} P_a = 5.10^{-4}+6.10^{-4}+0,3.10^{-4}=21,3.10^{-4}W
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− | </math>
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− | =Exercícios=
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− | [1] ...
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− | {{collapse top|Solução}}
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− | ...
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| {{collapse bottom}} | | {{collapse bottom}} |
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− | [2] ... | + | [b] Usando análise nodal, determine as tensões sobre os resistores indicados: |
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| + | [[Imagem:fig97_CEL18702.png|center|450px]] |
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− | {{collapse top|Solução}} | + | {{collapse top|Resultado}} |
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− | ...
| + | Resultado: V<sub>1</sub>=-2,55V; V<sub>2</sub>=4,03V; |
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| {{collapse bottom}} | | {{collapse bottom}} |
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| =Referências= | | =Referências= |
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− | [1] http://www.feng.pucrs.br/~virgilio/Circuitos_Eletricos_I/Capitulo3_ckt1.pdf | + | [1] http://www.feng.pucrs.br/~fdosreis/ftp/elobasicem/Aulas%202006%20II/AnaliseNodal.pdf |
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Análise de Nodal
Análise de circuitos mais gerais acarreta na solução de um conjunto de
equações.
Análise nodal:
- Tensões são as incógnitas a serem determinadas.
- Deve-se escolher um nó do circuito como referência.
- Associar aos outros nós uma tensão em relação ao nó de referência (tensão de nó).
- Polaridade de um nó é escolhida de tal forma que as tensões dos nós sejam positivas em relação ao nó de referência.
- Nó de referência é geralmente escolhido como o que possui o maior número de ramos conectados.
- Nó de referência possui potencial zero (terra).
- Aplica-se então a lei de Kirchhoff para corrente nos nós.
- As correntes nos elementos são proporcionais às tensões sobre os mesmos.
Figura 1 - Tensões de Nó:
e
.
Figura 2 - Circuitos com dois Nós.
- Lei de Kirchhoff de correntes
Nó 1:
ou em termos de tensões:
Nó 2:
ou em termos de tensões:
Exercício de Fixação
Utilizando a análise nodal, determine as tensões sobre os resistores no circuito abaixo:
[a] Determine os nós do circuito.
[b] Aplique a lei de Kirchoff para os nós indicados.
[c] Equacionar o circuito lembrando que é a soma de corrente e não de tensões como acontece nas malhas.
[d] Solucione utilizando substituição, regra de CRAMER (matrizes) ou escalonamento.
Solução
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- Nó 1 (V1)
![{\displaystyle -5+{\frac {V_{1}}{2}}+{\frac {V_{1}}{5}}+{\frac {V_{1}-V_{2}}{2}}=0\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec51c3e9f1f4099832f0e0ae53d9afddcd65f7a2)
![{\displaystyle {\frac {V_{1}}{2}}+{\frac {V_{1}}{5}}+{\frac {V_{1}}{2}}-{\frac {V_{2}}{2}}=5\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a337276f6c6ef0ee20a90490f4199f826a5d1f2)
- mmc
![{\displaystyle {\frac {5V_{1}+2V_{1}+5V_{1}-5V_{2}}{10}}=5\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb7d2acfd8bcbd4d359c96259ddd85cdb14ffbc)
- passa multiplicando o 10
![{\displaystyle 12V_{1}-5V_{2}=5.10\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/033822869fec88e94fd1f2fbdff8b08253239df7)
![{\displaystyle 12V_{1}-5V_{2}=50\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce5c3d22de7173e880d0cb2f6d308675416b275)
- Nó 2 (V2)
![{\displaystyle -3+{\frac {V_{2}}{4}}+{\frac {V_{2}-V_{1}}{2}}=0\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4314d6d9d054f91213638ce2aef07972639d47f5)
![{\displaystyle {\frac {V_{2}}{4}}+{\frac {V_{2}}{2}}-{\frac {V_{1}}{2}}=3\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e067f2a2c0aeb049adffd02a0966f2deb7848d2)
- mmc
![{\displaystyle {\frac {V_{2}+2V_{2}-2V_{1}}{4}}=3\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a92d6ad211346ce70a1a526220aa8f9ccdf1d71)
![{\displaystyle -2V_{1}+3V_{2}=3.4\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbbf31a92a82814c5b2f8334f6c30ed9d1a7774)
![{\displaystyle -2V_{1}+3V_{2}=12\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f027f1c62d6d607d312ddab7c17db5dc3a841f8)
- Resolvendo o sistema (Cramer)
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Exercícios
[a] Usando análise nodal, determine as tensões sobre os resistores indicados:
Resultado
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Resultado: V1=4,8V; V2=6,4V
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[b] Usando análise nodal, determine as tensões sobre os resistores indicados:
Resultado
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Resultado: V1=-2,55V; V2=4,03V;
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Referências
[1] http://www.feng.pucrs.br/~fdosreis/ftp/elobasicem/Aulas%202006%20II/AnaliseNodal.pdf