CEL18702 2017 1 AULA16

Análise de Circuito em Corrente Alternada (CA)

Até agora vimos a análise de circuitos em corrente contínua. Nessa terceira e última etapa da unidade curricular de Circuitos Elétricos, vamos ver como se comporta um circuito de corrente ou tensão cujos valores e polaridades se modificam ao longo do tempo. Ainda, dependendo do comportamento dessa forma de onda, podemos ter diferentes tipos de sinais como: senoidal, quadrada, triangular e pulsante.

Grandezas Senoidais

Até o momento nos vimos somente tensões e correntes contínuas, ou seja, aquelas que possuem módulo e sentido constantes ao longo do tempo. A Figura 1 mostra esse comportamento.

Figura 1 - Comportamento da Corrente (A) e da tensão (V) ao longo do tempo.

Uma tensão ou corrente é dita alternada quando muda periodicamente de módulo e sentido. Dependendo da forma como varia a grandeza em função do tempo, existem diversos tipos de tensões e correntes alternadas, ou seja, diversas formas de onda com por exemplo: quadrada, triangular, senoidal e rampa. A mais importante e utilizada é a senoidal porque assim é gerada, transmitida e distribuída a energia elétrica. A Figura 2 mostra alguns exemplos de formas de onda.

Figura 2 - Tipos de formas de onda.

Matemática

Como já falamos anteriormente, de todas as formas de onda de sinais alternados, a mais importante é a senoidal. A forma de onda de tensão CA pode ser descrita matematicamente pela fórmula:

$v(t)=V.sin(2\pi ft+\phi )\,$

Para a corrente em CA pode ser descrita como:

$i(t)=I.sin(2\pi ft+\phi )\,$

O valor de pico-a-pico de uma tensão alternada é definida como a diferença entre o seu pico positivo e o seu pico negativo. Desde o valor máximo de sin x que é +1 ao valor mínimo que é -1, uma tensão oscila entre +A e -A. A tensão de pico-a-pico, escrita como V_pp, é, portanto (+A) - (-A)= 2A. Geralmente a tensão CA é dada sempre no seu valor eficaz, que é o valor médio quadrático desse sinal elétrico (rms). E pode ser escrito como V_ef ou V_rms. Para uma tensão senoidal temos:

$V_{ef}={\frac {A}{\sqrt {2}}}={\frac {A{\sqrt {2}}}{2}}\,$

O $V_{ef}$ é útil no cálculo da potência consumida por uma carga. Se a tensão CC de valor $V_{CC}$ transfere certa potência P para a carga, então uma tensão CA de valor $V_{ef}$ irá entregar a mesma potência média P para a mesma carga então $V_{ef}=V_{CC}$. Por este motivo, rms é o modo normal de medição de tensão em sistemas de potência.

Para ilustrar estes conceitos, considere a tensão de 220V CA, usada em alguns estados brasileiros e em Portugal. Ela é assim chamada porque seu valor eficaz (rms) é, em condições normais, de 220V. Isto quer dizer que ela tem o mesmo efeito joule, para uma carga resistiva, que uma tensão de 220V CC. Para encontrar a tensão de pico (amplitude), podemos modificar a equação acima para:

$V=V_{ef}.{\sqrt {2}}\,$

Para 220V CA, a tensão de pico ou A é, portanto, $V_{P}=220.{\sqrt {2}}=311V$ (aproximado). O valor de pico-a-pico $V_{PP}$ de 220V CA é ainda mais alta:

$V_{pp}=2.220.{\sqrt {2}}=622V$.

Note que para tensões não senoidais, temos diferentes relações entre seu pico de magnitude valor eficaz. Isso é de fundamental importância ao se trabalhar com elementos do circuito não lineares que produzem correntes harmônicas, como retificadores.

Corrente Alternada x Corrente Contínua

Desde o início da história da eletricidade se iniciou a questão da opção entre corrente contínua (CC) e corrente alternada (CA). A partir de 1882, a CA foi adotada para o transporte e distribuição de energia elétrica em larga escala, pelas seguintes razões:

• A elevação e o rebaixamento da tensão são mais simples.

Para reduzir as perdas energéticas no transporte de energia elétrica é necessário elevar o valor da tensão. Posteriormente, a distribuição dessa energia elétrica aos consumidores, é necessário voltar a baixar essa tensão. Para isso utilizam-se transformadores elevadores e rebaixadores de tensão, de construção bastante simples e com um bom rendimento. O processo de reduzir e aumentar a tensão em CC é mais complexo, embora comecem a aparecer, hoje em dia, sistemas de eletrônica de potência capazes de executar essa tarefa.

• Os alternadores (geradores de CA) são mais simples e têm melhor rendimento que os dínamos (geradores de CC).
• Os motores de CA, particularmente os motores de indução são mais simples e têm melhor rendimento que os motores de CC.
• A CA pode transformar-se facilmente em CC por intermédio de sistemas retificadores.

Período e Frequência

Dado que a CA se repete periodicamente (ciclicamente), uma das característica fundamentais é o valor do intervalo de tempo entre repetições (ou ciclos), ou seja, o período T, cuja unidade é o segundo [s]. A Figura 3 mostra as características de uma tensão senoidal.

Figura 3 - Características de uma onda senoidal.

É comum utilizar-se uma outra característica da CA, diretamente relacionada com o período que a frequência (f). Esta grandeza representa o número de ciclos que ocorre num segundo e a sua unidade é o Hertz [Hz].

A relação entre a frequência e o período é então:

$f={\frac {1}{T}}$ logo, $T={\frac {1}{f}}$

Exemplo (1)

No Paraguai, a tensão (e a corrente) da rede pública têm uma frequência f=50Hz, correspondendo a um período T=20ms.

Isto quer dizer que a tensão de que os paraguaios dispõem nas tomadas das casas descreve 50 ciclos num segundo, mudando de sentido 100 vezes por segundo.

Exemplo (2)

A frequência de um sinal de rádio em frequência modulada (FM) está na ordem dos 100MHz, descrevendo portanto 100 milhões de ciclos num segundo.

Representação Ffasorial das ondas senoidais

As tensões e correntes senoidais podem ser representadas por um vetor, cujo módulo é igual ao valor máximo da grandeza, que gira em sentido anti-horário com velocidade angular constante. Este vetor girante é denominado fasor. A Figura 3b mostra que, à medida que o fasor gira, a sua projeção no eixo vertical dá a sucessão de valores instantâneos da grandeza.

Figura 3b - Representação gráfica do fasor.

Observa-se que uma rotação completa do fasor (360°) produz um ciclo da senoide. Por esse motivo pode-se relacionar o ângulo 360° com o tempo. Em outras palavras, em uma rotação completa do fasor o ângulo percorrido é de $2\pi rad\,$ e o tempo consumido é igual a um período T.

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}\,$

$\omega =2\pi .f\,$

A velocidade de rotação do fasor é diretamente proporcional a frequência f da grandeza. Onde $\phi \,$ representa o ângulo de fase inicial, ou seja, o ângulo formado entre o fasor e a horizontal no instante de tempo t = 0.

Relações de fase para formas de onda senoidais

Grandezas defasadas

Duas ou mais formas de onda senoidais de mesma frequência estão defasadas quando não atingem valores máximos positivos no mesmo instante de tempo. Na Figura 3c, o ângulo da fase inicial para a corrente i₁ é 0° e o ângulo de fase inicial para a corrente i₂ é -60°. Assim, as expressões matemáticas para as correntes são:

$i_{1}=10.sen(\omega t+0^{\circ })=i_{1}=10.sen\,\omega t\,$

$i_{2}=10.sen(\omega t-60^{\circ })\,$

A corrente i₁ atinge o valor máximo positivo primeiro que a corrente i₂ que somente atingirá o valor máximo 60° após. Nesta situação se diz que "a corrente i₁ está adiantada de 60° em relação a corrente i₂", ou da mesma maneira, que "a corrente i₂ está atrasada de 60° em relação a corrente i₁".

Figura 3c - Relação de fase para formas de onda senoidais.

Grandezas em fase

duas ou mais formas de onda senoidais de mesma freqüência estão em fase quando atingem valores máximos positivos no mesmo instante de tempo.

Resistência, Reatância Indutiva, Reatância Capacitiva e Impedância

A análise de circuitos em corrente alternada (CA) implica o estudo do comportamento de três elementos eléctricos básicos: resistência, indutância (indutor) e capacitância (capacitor).

Impedância elétrica (Z) ou simplesmente impedância é a medida da capacidade de um circuito elétrico de resistir ao fluxo de uma determinada corrente elétrica quando se aplica uma certa tensão elétrica em seus terminais. Essa impedância pode ser puramente resistiva (R), puramente indutiva ($X_{L}\,$) ou puramente capacitiva ($X_{C}\,$), ou ainda, um misto das três. Na sequência veremos como calcular a impedância para esses circuitos.

Circuitos Resistivos

Quando um circuito contém apenas resistências puramente ohmicas, a corrente é, em qualquer instante, - devido à Lei de Ohm, proporcional à tensão. Se a tensão aplicada a uma resistência é alternada senoidal, a corrente também terá um formato senoidal, anulando-se nos mesmos instante da tensão e atingindo o máximo nos mesmos instantes da tensão. A Figura 4 mostra como é essa relação.

Figura 4 - Fase entre a tensão e corrente senoidal numa resistência.

Diz-se então que a tensão e a corrente nesse circuito estão em fase, isto é, estão sincronizadas uma com a outra.

Circuitos Indutivos

Num indutor, quando a corrente varia, é auto-induzida uma f.e.m. (pela Lei de Lenz, contrária à causa que lhe deu origem). Esta força (contra) é chamada de força eletromotriz. Num indutor quando uma corrente varia, a f.c.e.m. também varia. Porém existe um desfasamento de 90° entre a corrente e a tensão num indutor, ista só vale para o caso de um circuito puramente indutivo e a corrente é atrasada em relação à tensão. A Figura 5 mostra a relação entre a fase da corrente e da tensão num indutor.

Figura 5 - Fase entre a tensão e corrente senoidal numa indutância.

Podemos observar na Figura 5, que quando a corrente se anula a tensão é máxima, e que quando a corrente atinge os seus máximos (negativos ou positivos), a tensão anula-se.

À razão entre o valor máximo da tensão (Vm) e o valor máximo da corrente (Im) numa bobina, igual a $\omega .L\,$, dá-se o nome de reatância indutiva ($X_{L}\,$):

$X_{L}=\omega .L=2\pi .f.L\,$

A reatância indutiva mede-se em ohms e representa a maior ou menor oposição (resistência) de uma bobina à passagem da corrente alternada. Ao contrário do que acontece numa resistência, esta oposição varia com a frequência do sinal. Quanto maior a frequência, maior será a reatância indutiva, implicando em uma maior oposição à passagem da corrente. Para a frequência nula, a reatância indutiva também será nula, correspondendo a bobina a um curto-circuito. Para frequência infinita, a reactância indutiva também será infinita, correspondendo a bobina a um circuito aberto.

Exemplo

Uma f.e.m. de 10 V de valor eficaz e frequência de 50Hz é aplicada a uma bobina de 0,1 H. Determine a reatância indutiva da bobina e a corrente que a percorre.

Solução
Para a reactância indutiva $X_{L}=\omega .L=2\pi .f.L=2\pi .50.0,1\,$ $X_{L}=31,4\Omega \,$ A corrente terá o valor (eficaz) de $I={\frac {V}{XL}}={\frac {10}{31,4}}\,$ $I=0,32A\,$

Impedância Indutiva (Indutância + Resistência)

Partindo do presuposto que nenhuma bobina tem resistência nula, e que também, nenhuma resistência tem indutância nula, podemos considerar uma bobina real como uma bobina ideal, indutância pura (L) em série com uma resistência ideal, puramente resistiva (R). A Figura 6 apresenta um diagrama elétrico de um circuito resistivo e indutivo.

Figura 6 - Circuito resistivo e indutivo.

Podemos afirmar que:

• A tensão $V_{R}\,$ na resistência R está em fase (0°) com a corrente I;

• A tensão $V_{L}\,$ na bobina L está em quadratura (90°) com a corrente I;

Aplicando a Lei de Kirchoff das malhas ao circuito da Figura 6, fica:

$V=V_{R}+V_{L}\,$

Sabemos que:

$V_{R}=R.I\,$ e $V_{L}=X_{L}.I\,$

Define-se então a impedância Z como a divisão da tensão V pela corrente I:

$Z={\frac {V}{I}}\,$

Logo, o módulo de Z, será:

$Z={\sqrt {R^{2}+X_{L}^{2}}}\,$

O ângulo $\Phi$ é ângulo entre a tensão na resistência (V_R) e a tensão total (V), e pode ser calculado da seguinte forma:

$\Phi =arccos({\frac {R}{Z}})\,$ ou $\Phi =arctan({\frac {X_{L}}{R}})\,$

Exemplo

Uma bobina de indutância 0,1H e resistência 80 ohms é ligada a uma fonte de alimentação de 100V e 600Hz. Calcular a impedância do circuito e a corrente fornecida pela fonte. Ainda, qual a fase entre a tensão e a corrente totais?

Solução
A reatância indutiva $X_{L}=\omega .L=2\pi .f.L=2\pi .600.0,1=376,99\Omega \,$ Se R = 80 omhs, a impedância será de $Z={\sqrt {R^{2}+X_{L}^{2}}}={\sqrt {80^{2}+376,99^{2}}}=385,39\Omega \,$ A corrente calcula-se pela Lei de Ohm $I={\frac {V}{Z}}={\frac {100}{385,39}}=0,26A$ Para calcular a fase, sabemos que $\Phi =arctan({\frac {X_{L}}{R}})=arctan({\frac {376,99}{80}})=78^{\circ }\,$

Nota: Se considerarmos a corrente como a origem das fases, poderemos escrever as expressões da corrente e da tensão em função do tempo da seguinte maneira:

$i(t)=I_{m}.sin(\omega t)={\sqrt {2}}.I.sin(\omega t)=0,26{\sqrt {2}}.sin(1200\pi .t)$

$v(t)=V_{m}.sin(\omega t+\Phi )={\sqrt {2}}.V.sin(wt+\Phi )=100{\sqrt {2}}.sin(1200\pi .t+78^{\circ })$

Circuitos com Capacitâncias

Capacitor é um componente que armazena cargas elétricas num campo elétrico, acumulando um desequilíbrio interno de cargas elétricas. A relação entre a tensão e a corrente num capacitor de capacidade C é dada pela quantidade de carga elétrica multiplicado pela sua capacitância, então, num capacitor, quando a tensão varia, a corrente também varia. Se supormos que a tensão instantânea se expressa pela seguinte equação:

$v(t)=V_{m}.sin(\omega t)\,$

Logo, por desenvolvimentos de equações integrais e derivadas temos:

$v(t)=V_{m}.\omega .C.cos(\omega t)=V_{m}.\omega .C.sin(\omega t-90^{\circ })\,$

Verificamos então também existe um desfasamento de 90° entre a corrente que percorre o capacitor e a tensão nos terminais desse capacitor, só que agora, quem está adiantada é a corrente. A Figura 7 apresenta a fase entre tensão e corrente num capacitor.

Figura 7 - Fase entre a tensão e corrente num capacitor.

Podemos observar na Figura 7 que quando a tensão se anula, a corrente é máxima e que quando a tensão atinge os seus máximos (negativos ou positivos), a corrente anula-se.

À razão entre o valor máximo da tensão (Vm) e o valor máximo da corrente (Im) num capacitor, igual a 1/(w.L), dá-se o nome de reatância capacitiva (X_C):

$X_{C}={\frac {1}{\omega .C}}={\frac {1}{2\pi .f.C}}$

A reatância capacitiva mede-se em ohms e representa a maior ou menor oposição (resistência) de um capacitor à passagem da corrente alternada. Tal como no caso das indutâncias, esta oposição varia com a frequência do sinal. Quanto menor a frequência, maior será a reatância capacitiva, implicando uma maior oposição à passagem da corrente. Para a frequência nula (CC), a reactância capacitiva será infinita, correspondendo o capacitor a um circuito aberto. Para frequência infinita, a reactância capacitiva será nula, comportando-se o capacitor como um curto-circuito.

Exemplo

Calcule a reatância de um capacitor de capacidade 1uF, quando ligado num circuito com frequência de:

a) 100 Hz

b) 5000 Hz

Calcule a corrente no circuito em cada um dos casos, se a tensão fosse de 10V?

Solução
A reatância capacitiva será a) $X_{C}={\frac {1}{2\pi .f.C}}={\frac {1}{2\pi .100.1.10^{-6}}}=1591,5\Omega$ b) $X_{C}={\frac {1}{2\pi .f.C}}={\frac {1}{2\pi .5000.1.10^{-6}}}=31,8\Omega$ A corrente terá o valor (eficaz) de a) $I={\frac {V}{X_{C}}}={\frac {10}{1591,5}}=6,28mA$ b) $I={\frac {V}{X_{C}}}={\frac {10}{31,8}}=314,47mA$

Impedância Capacitiva (Capacitor + Resistência)

Agora vamos verificar o comportamento de um circuito com um capacitor (C) em série com uma resistência (R):

Figura 8 - Circuito com impedância capacitiva.

Podemos dizer que:

• A tensão $V_{R}\,$ na resistência R está em fase (0°) com a corrente I;

• A tensão $V_{C}\,$ no capacitor C está em quadratura (90°) com a corrente I;

Aplicando a Lei de Kirchoff das malhas ao circuito da Figura 8, fica:

$V=V_{R}+V_{C}\,$

Sabendo que:

$V_{R}=R.I\,$ e $V_{C}=X_{C}.I\,$

A impedância total do circuito Z será:

$Z={\frac {V}{I}}\,$

O ângulo $\Phi$ é o ângulo entre a tensão na resistência (VR) e a tensão total (V), e pode ser calculado da seguinte maneira:

$\Phi =arccos({\frac {R}{Z}})\,$ ou $\Phi =arctan({\frac {X_{C}}{R}})\,$

Exemplo

Liga-se uma resistência de 40 omhs em série com um capacitor de 50 uF, ambos alimentados por 110V. Se a corrente no circuito for de 2A, qual a frequência da fonte de alimentação? Pergunta-se ainda, qual a tensão no capacitor e na resistência?

Solução

Se para uma tensão aplicada de 110V, a corrente no circuito é de 2A, a impedância pode ser calculada da seguinte maneira: $Z={\frac {V}{I}}={\frac {110}{2}}=55\Omega \,$ Agora, se $Z={\sqrt {R^{2}+X_{C}^{2}}}$ então $X_{C}={\sqrt {Z^{2}-R^{2}}}={\sqrt {55^{2}-40^{2}}}=37,75\Omega$ Para calcular a frequência, temos que $X_{C}={\frac {1}{2\pi .f.C}}\,$ logo $f={\frac {1}{2\pi .C.X_{C}}}\,$ $f={\frac {1}{2\pi .50.10^{-}{6}.37,75}}=84,3Hz\,$ As tensões nos terminais dos elementos são $V_{R}=R.I=2.40=80V\,$ $V_{C}=X_{C}.I=2.37.75=75,5V\,$ Para confirmar estes resultados, podemos verificar se a soma de dois vectores perpendiculares de amplitudes 80V e 75,5V resulta num vector com amplitude de 110 V, isto é: $V={\sqrt {V_{R}^{2}+V_{C}^{2}}}$ $V={\sqrt {80^{2}+75,5^{2}}}=110V$ Confirma-se portanto o resultado.

Circuito RLC Série (Resistência + Indutância + Capacitância)

Consideremos um circuito RLC série visto na Figura 9 com resistência, reactância indutiva e capacitiva. Na prática, todos os circuitos têm estes elementos. Embora alguns dos respectivos valores possam ser muito pequenos em relação aos outros e, portanto, desprezáveis. De fato, há sempre fenômenos indutivos e capacitivos inerentes a um circuito elétrico, ainda que possam ser pouco intensos.

Figura 9 - Circuito RLC série.

Pela Lei das Malhas sabemos que:

$V=V_{R}+V_{L}+V_{C}\,$

Devemos distinguir três situações diferentes:

[1] Quando $V_{L}>V_{C}\,$: circuito indutivo.

[2] Quando $V_{L}<V_{C}\,$: circuito capacitivo.

[3] Quando $V_{L}=V_{C}\,$: circuito resistivo.

Como podemos observar, as tensões no capacitor e na indutância anulam-se mutuamente. Esta situação é chamada de ressonância e na grande maioria dos casos, deve ser evitada, pois podem ser produzidas tensões elevadas, perigosas para pessoas e instalações como, por exemplo, danos no isolamento de máquinas eléctricas. Porém, existem casos em que a ressonância é utilizada.

Para cada circuito RLC há uma frequência da tensão aplicada que o leva à ressonância. A frequência para a qual $X_{L}=X_{C}\,$ denomina-se de frequência de ressonância $f_{r}\,$ e pode ser calculada da seguinte maneira:

$X_{L}=X_{C}\,\Leftrightarrow \,2\pi .f_{r}.L={\frac {1}{2\pi .f_{r}.C}}\,\Rightarrow \,f_{r}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}$

Exemplo:

Considere um circuito RLC série com R = 100 ohms, L = 0,5H e C = 10 uF.

a) Determine a frequência de ressonância do circuito.

b) Calcule V_L e V_C para uma f.e.m. aplicada de 200V, na frequência de ressonância.

Solução
a) $f_{r}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {0,5.10.10^{-6}}}}}=71,2Hz$ b) Como as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam, à frequência de ressonância: $I={\frac {V}{Z}}={\frac {V}{R}}={\frac {200}{100}}=2A\,$ Para calcular as tensões nos terminais dos elementos reativos: $X_{C}=X_{L}=2\pi .f_{r}.L=2\pi .71,2.0.5=223,6\Omega \,$ então $V_{C}=V_{L}=X_{L}.I=223,6.2=447,2V\,$

Nota: Como verificamos, a tensão nos terminais da indutância e da capacitância é mais que o dobro da f.e.m. aplicada ao circuito (200 V). Podem portanto surgir sobretensões indesejáveis para bom funcionamento dos circuitos.

Circuito RLC Paralelo (Resistência + Indutância + Capacitância)

Consideremos o circuito visto na Figura 10, com resistência, reatância indutiva e capacitiva ligados em paralelo. Como já falamos, na prática, todos os circuitos têm estes elementos. Embora alguns dos respectivos valores possam ser muito pequenos em relação aos outros e portanto desprezáveis. De fato, há sempre fenômenos indutivos e capacitivos inerentes a qualquer circuito elétrico, ainda que não possam deixar de ser considerados.

Figura 10 - Circuito RLC paralelo.

Pela Lei dos Nós sabemos que:

$I=I_{R}+I_{L}+I_{C}\,$

O módulo da impedância total do circuito pode ser obtido por:

$Z={\frac {V}{I}}\,$

Tal como no circuito RLC série, distinguem-se três casos particulares:

[1] Quando $I_{L}>I_{C}\;(X_{L}<X_{C})$: circuito indutivo.

[2] Quando $I_{L}<I_{C}\;(X_{L}>X_{C})$: circuito capacitivo

[3] Quando $I_{L}=I_{C}\;(X_{L}=X_{C})$: circuito em ressonância.

Nota: Analogamente ao que acontecia com as tensões no circuito RLC série em ressonância, aqui são as correntes na capacitância e na indutância que se anulam mutuamente. Enquanto que no circuito RLC série poderiam aparecer sobretensões, no circuito RLC paralelo são as correntes que podem ser demasiado elevadas.

Sendo que a ressonância ocorre quando X_L = X_C, a frequência de ressonância (fr) é calculada da mesma maneira que no caso do circuito RLC série:

$f_{r}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}$

Conclusão

O estudo de circuitos elétricos de CA é feito a partir das mesmas leis gerais estudadas para o caso de CC. Assim, num circuito de CA verifica-se que em qualquer instante a soma algébrica das diferenças de potencial ao longo de uma malha é nula (Lei das Malhas de Kirchoff) e a soma algébrica das correntes num nó é também nula (Lei dos Nós de Kirchoff).

No entanto, como no caso da CA as tensões e as correntes são variáveis, a análise de circuitos em CA tornar-se-ia extremamente complexa se trabalhássemos no domínio do tempo ou com a representação gráfica de vetores. Para simplificar esta análise existe a Transformada de Steinmetz, que permite o estudo do comportamento dos circuitos de uma forma mais simplificada. A utilização desta transformada torna-se fundamental quando analisamos circuitos com associações mais complexas de elementos (resistências, indutâncias e capacitâncias). Mas isso é coisa para uma outra oportunidade.

Lista de Exercícios

http://wiki.sj.ifsc.edu.br/images/6/62/Lista_Exercicios_1_Prof_Andre_Caldeira.pdf

Referências

[1] http://www.ifsc.usp.br/~strontium/Teaching/Material2010-2%20FFI0106%20LabFisicaIII/12-CircuitosdeCorrenteAlternada-I.pdf

[2] http://qacademico.ifsul.edu.br/UPLOADS/MATERIAIS_AULAS/95079-0.0.0.CORRENTE_ALTERNADA-2012(atual)2.pdf

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